Равновесие

[dovlato]

Задачка какая-то наивная, но мне понравилась (своё же, родное). Условие вообще без формул.
На острие горизонтально свободно лежит жёсткая плоскость конечной массы. На неё положено тело, так,
что вся система изначально неподвижна и находится в равновесии.
Затем тело, ес-нно, взрывается, причём ВСЕ осколки скользят без трения по плоскости.
Требуется показать, что плоскость будет оставаться горизонтальной.

[Утундрий]

dovlato в сообщении #477364 писал(а):

тело, ес-нно, взрывается

Уточните, каким всё-таки образом оно "ес-нно взрывается". А то, боюсь, содержательная часть поставленной задачи сведется к поиску всех "ес-нных взрываний", обеспечивающих требуемое равновесие.

[dovlato]

Ну, например, можно представить себе несколько тел, первоначально соединённых сжатыми горизонтальными пружинками. Затем пружинки одновременно освобождаются, и расталкивают тела абы как, но так, чтобы те не подскакивали. Внешних сил нет. Вообще-то требование "одновременности", думаю, тут не обязательное.

[ИгорЪ]

Импульс бомбы до взрыва ноль. После тоже и нет вертикальной составляющей. Проведем произвольную прямую в плоскости через острие. Сумма импульсов по одну сторону прямой равна сумме по другую в любой момент времени. Домножим это уравнение слева и справа на укорение св. падения и время. Получим равенство моментов по разные стороны прямой.
По другому. Проведем две взаимно перпендикулярные прямые через острие. Спроецируем с обоих сторон одной прямой импульсы всех осколков на вторую прямую. Получим, после умножения на $gt$ равенство моментов с обоих сторон относительно первой прямой.

[dovlato]

Я так же делал. Проецирование практически равносильно скалярному умножению.
Скольжение всех тел требуется, чтобы силы, действующие на плоскость, в любой момент были бы скомпенсированы.
Кстати, если силы трения пропорциональны импульсам тел, то ответ, по-моему, такой же.
Если, при таком трении, некоторые осколки взлетают, то ответ меняется. В этом случае, если придерживать плоскость, пока не прекратятся все подпрыгивания, то потом уже можно отпустить плоскость - равновесие сохранится.
Кстати. Если взять вместо плоскости рыхлое твёрдое тело, сквозь которое могут лететь осколки, то, при тех же условиях на трение, как бы эти осколки ни летели, снова будет сохраняться равновесие - безо всяких дополнительных ограничений на направления их полёта.

[ewert]

ИгорЪ в сообщении #477571 писал(а):

Проведем произвольную прямую в плоскости через острие.

Да зачем же ещё что-то проводить-то?... Просто-напросто $\sum\limits_k\vec r_k\times m_k\vec g=\left(\sum\limits_k\vec r_km_k\right)\times\vec g=\vec0\times\vec g=\vec0.$ Между прочим, задачка станет чуть-чуть содержательнее, если добавить в условие вопрос: будет ли равновесие устойчивым, неустойчивым или безразличным? (Ответ: "неустойчивым, разумеется".)

[dovlato]

Конечно. Но школьники не проходят векторного произведения - приходится обращаться к их воображению.