Метод Ляпунова по первому приближению

[lioness]

Здравствуйте, хотела бы вас попросить, объяснить мне суть метода Ляпунова по первому приближения на элементарном примере. Желательно алгоритм / схему решения или, как говорится, если быть совсем уж "наглой" - решение этой системы
$ $ \left\{ \begin{array}{rcl} x'=y \\ y'=A \cdot x \\ \end{array} \right. $ $
Мне задали решить более сложные задачи, а я читая теоретический материал и до сих пор не уловила полный ход решения и каков должен быть результат. Поэтому решила попробовать разобраться сначала с простым примером, а потом переходить уже к остальным.
Буду очень благодарна, если кто-нибудь откликнется на мою просьбу.

[Kitozavr]

Составьте характеристическое уравнение: $\det(B- \lambda E)=0$, где $B$ — матрица коэффициентов системы, $E$ — единичная матрица. Решив это уравнение вы найдёте корни $\lambda$, останется только найти в учебнике каким корням какие точки устойчивости соответствуют.

[мат-ламер]

lioness в сообщении #477338 писал(а):

Здравствуйте, хотела бы вас попросить, объяснить мне суть метода Ляпунова по первому приближения на элементарном примере. Желательно алгоритм / схему решения или, как говорится, если быть совсем уж "наглой" - решение этой системы
$ $ \left\{ \begin{array}{rcl} x'=y \\ y'=A \cdot x \\ \end{array} \right. $ $

Извините за ламерский вопрос. Что у Вас обозначает штрих, что $A$, и x,y - векторы или скаляры?

[lioness]

Kitozavr в сообщении #477377 писал(а):

Составьте характеристическое уравнение: $\det(B- \lambda E)=0$, где $B$ — матрица коэффициентов системы, $E$ — единичная матрица. Решив это уравнение вы найдёте корни $\lambda$, останется только найти в учебнике каким корням какие точки устойчивости соответствуют.

Спасибо большое за наводку обязательно попробую завтра реализовать и выложу свое решение, чтобы уточнить правильность мысли

мат-ламер в сообщении #477446 писал(а):

Извините за ламерский вопрос. Что у Вас обозначает штрих, что $A$, и x,y - векторы или скаляры?

В этом примере все элементарно (без заковырок) $x' , y'$ - производные, $x , y$ переменные (скаляры) A - число или числовое выражение

[lioness]

Не уверена я конечно в правильности своей мысли, но все же выкладываю свое решение, начало сделала как и советовали вычислила определитель и вычислила корни уравнения, а потом как в дифурах делали нашла решение, но вроде должно быть исследование на устойчивость, вообщем можно еще подсказку если можно

[Kitozavr]

Решение системы не надо было находить.
После того как вы получили $ \lambda = \pm \sqrt A$ надо было посмотреть в учебнике, лекциях, справочнике или где-то ещё какое положение устойчивости соответствует этим корням. Это будет зависеть от $A$: если $A>0$, то оба корня вещественны и различных знаков, значит это седло (неустойчивое положение), если $A<0$, то корни комплексные, здесь возможны три случая
1) Если $ \operatorname{Re} ( \lambda) > 0$, то это устойчивый фокус
2) Если $ \operatorname{Re} ( \lambda) < 0$, то это неустойчивый фокус
3) Если $ \operatorname{Re} ( \lambda) = 0$, то это... (пробел в лекциях)

[lioness]

Kitozavr в сообщении #477588 писал(а):

Решение системы не надо было находить.
После того как вы получили $ \lambda = \pm \sqrt A$ надо было посмотреть в учебнике, лекциях, справочнике или где-то ещё какое положение устойчивости соответствует этим корням. Это будет зависеть от $A$: если $A>0$, то оба корня вещественны и различных знаков, значит это седло (неустойчивое положение), если $A<0$, то корни комплексные, здесь возможны три случая
1) Если $ \operatorname{Re} ( \lambda) > 0$, то это устойчивый фокус
2) Если $ \operatorname{Re} ( \lambda) < 0$, то это неустойчивый фокус
3) Если $ \operatorname{Re} ( \lambda) = 0$, то это... (пробел в лекциях)

Ой спасибочки, я все поняла, вы мне так помогли Теперь хоть со своими примерами можно разбираться Еще раз спасибо!!!

[Kitozavr]

Пожалуйста.

[lioness]

Забавно, но понадобился именно случай $ \operatorname{Re} ( \lambda) = 0$ все бы ничего. так в разных источниках пишут по разному:

1. "Если характеристическое уравнение системы первого приближения не имеет корней с положительной вещественной частью, однако имеет такие, у которых вещественные части равны нулю (22), то ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости исходной нелинейной системы дан быть не может на основании линейного анализа. Необходимо более глубокое нелинейное исследование."
Как я понимаю это для нелинейных систем

2. Если среди корней характеристического уравнения нет корней с положительной вещественной частью (21), однако имеются корни с вещественными частями, равными нулю, то выполняется условие (5). В этом случае линейная система просто устойчива.
А это для линейных систем

3. "Точка покоя — центр" и это для линейных систем

Так какой вывод делать для моей системы. По фазовому портрету получается точка покоя (могу ошибаться конечно, но вроде права).

[Kitozavr]

В моих лекция положение устойчивости выглядит как концентрические окружности без названия самого положения. Наверное, 3-ий вариант.

[lioness]

Kitozavr в сообщении #478515 писал(а):

В моих лекция положение устойчивости выглядит как концентрические окружности без названия самого положения. Наверное, 3-ий вариант.

Спасибо за поддержку Вот и мне так кажется, потому что у меня фазовый портрет так же выглядит...

[lioness]

Подскажите пожалуйста, а как составить систему, чтобы ее решить методом Ляпунова по первому приближению. Например для цилиндрической оболочки
$D\nabla^4 w=\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}}+\frac{h}{R} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}}-Rhp_{0}t -\rho h \frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}$,

$\frac{1}{E} \nabla^4 \phi =-\frac{1}{R} \frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}$

я эту задачку уже решила, составила систему, но как выяснилось не правильно (брала функцию прогиба и напряжения, применяла Бубнова-Галеркина и уже по исходному уравнению второго порядка составляла систему)
уравнение получила следующее
$\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial \tau^{2}}+\varphi [\frac{Dt_{k}^{2}}{\rho hR^{4}} \left ((m^{2}+n^{2} )^{2}+\frac{Em^{4} hR^{2}}{D(m^{2}+n^{2} )^{2} }\right)-\frac{n^{2} t_{k}^{3} \tau p_{0}}{\rho hR} ]=0$