Сходимость рядов

[freedom_of_heart]

Нужно исследовать на абсолютную сходимость. Не ясно -- что желать с логарифмом.

1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos n}{(n+3)\sqrt{\ln^3(n+1)}}$

$|\cos n|<1$

$$\dfrac{\cos n}{(n+3)\sqrt{\ln^3(n+1)}}\le \dfrac{1}{n\sqrt{\ln^3(n)}}$$

Ряд $ \dfrac{1}{n\sqrt{\ln^3(n)}}$ по идее должен сходиться, но аргументировать не могу. Подскажите, пожалуйста, как быть? Есть с чем сравнить логарфм на бесконечности?

2) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n \dfrac{\ln^2 n}{2^n}$

Тут вообще не понятно с чего начинать((

$\dfrac{\ln^2 n}{2^n}$ должно убывать точно, но что еще нужно для абсолютной сходимости.

3) $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n n^4e^{-\sqrt{n}}$

с чего тут начать ? С чем сравнить экспоненту?

[alcoholist]

модуль (коли уж абсолютная) и интегральный признак

[freedom_of_heart]

alcoholist в сообщении #477305 писал(а):

модуль (коли уж абсолютная) и интегральный признак

Спасибо, ясно! Это к первому примеру! А остальные как?))

$$\int\linits_2^{\infty}\dfrac{dx}{x\sqrt{\ln^3x}}=\int\linits_{\ln 2}^{\infty}\dfrac{d(\ln x)}{\sqrt{\ln^3x}}=\int\linits_{\ln 2}^{\infty}(\ln x)^{-3/2}d(\ln x)}=-\dfrac{1}{2}\Big( (\ln x)^{-1/2}\Big|^{\infty}_{\ln 2}\Big)=-\dfrac{1}{2}\Big(0-(\ln 2)^{-1/2}\Big)=\dfrac{1}{2\ln 2}$$

[alcoholist]

По мажорирующему... (кажется, он назван в М-признаком Вейерштрасса)

[freedom_of_heart]

alcoholist в сообщении #477308 писал(а):

По мажорирующему... (кажется, он назван в М-признаком Вейерштрасса)

Не нашла такой в инете(((

[alcoholist]

ну... это тот же самый, что и в первом примере: нужно оценить ряд сверху заведомо сходящимся

-- Ср авг 24, 2011 01:28:26 --

freedom_of_heart в сообщении #477278 писал(а):

$\dfrac{\ln^2 n}{2^n}\le ?????????????????$

freedom_of_heart в сообщении #477278 писал(а):

$ n^4e^{-\sqrt{n}}\le ?????????????????????$

[freedom_of_heart]

А ясно, спасибо!!! с первым такая мысль пришла в голову

$\dfrac{\ln^2 n}{2^n}\le \dfrac{\ln^2 n}{n}$

А второй неочевидно с чем сравнивать(

[alcoholist]

ну... в первом-то -- зачем Вам такое слабое сравнение? Там интеграл от

freedom_of_heart в сообщении #477311 писал(а):

$ \dfrac{\ln^2 x}{x}$

расходится на бесконечности:(((

[freedom_of_heart]

alcoholist в сообщении #477313 писал(а):

ну... в первом-то -- зачем Вам такое слабое сравнение? Там интеграл от

freedom_of_heart в сообщении #477311 писал(а):

$ \dfrac{\ln^2 x}{x}$

расходится на бесконечности:(((

А больше не придумать, чтоб интеграл взялся, не могу же я выкинуть логарифм(

[alcoholist]

можно... $\ln x$ иногда меньше $x$

-- Ср авг 24, 2011 01:50:54 --

ну... и $2^n=e^{n\ln 2}$

[freedom_of_heart]

alcoholist в сообщении #477317 писал(а):

можно... $\ln x$ иногда меньше $x$

-- Ср авг 24, 2011 01:50:54 --

ну... и $2^n=e^{n\ln 2}$

Спасибо! То есть нужно будет взять такой интеграл?)

$\int_1^{\infty} x^2e^{-x}dx$?

А можно так?

$\dfrac{\ln^2 n}{2^n}\le \dfrac{n}{{e^n}}$

$\int_1^{\infty} xe^{-x}dx$

----------------------------------------------

А этот с чем сравнить?!

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n n^4e^{-\sqrt{n}}$

[alcoholist]

freedom_of_heart в сообщении #477318 писал(а):

Спасибо! То есть нужно будет взять такой интеграл?)

$\int_1^{\infty} x^2e^{-x}dx$?

вычислять не надо, только доказать, что сходится

freedom_of_heart в сообщении #477318 писал(а):

А этот с чем сравнить?!

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n n^4e^{-\sqrt{n}}$

также... интеграл

-- Ср авг 24, 2011 02:05:11 --

freedom_of_heart в сообщении #477318 писал(а):

А можно так?

$\dfrac{\ln^2 n}{2^n}\le \dfrac{n}{{e^n}}$

$\int_1^{\infty} xe^{-x}dx$

можно... только слова правильные сказать

[freedom_of_heart]

alcoholist в сообщении #477321 писал(а):

freedom_of_heart в сообщении #477318 писал(а):

А этот с чем сравнить?!

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n n^4e^{-\sqrt{n}}$

так же... интеграл

Спасибо, такой интеграл $\int x^4e^{-\sqrt{x}}dx$ ? (считать долговато)

[alcoholist]

не надо считать))) естественная замена переменной и доказательство сходимости)

[freedom_of_heart]

alcoholist в сообщении #477323 писал(а):

не надо считать))) естественная замена переменной и доказательство сходимости)

А как доказать сходимость, не считая?)

Замена, судя по всему, $t= \sqrt x$