Неравенство с логарифмом

[AssemblerIA64]

Доказать, что при $x>1$ и $y>1$ выполнено

$$\ln \left ({\frac {x+y} {2 \sqrt {xy}}} \right ) \geq {{\frac {x+y} {4xy} } - {\frac 1 {x+y}}}$$

За эту задачу предлагалось 5 баллов из 10-ти (т.е. задача, вроде, не очень сложная), но мне её решить не удаётся.

[nnosipov]

AssemblerIA64 в сообщении #477020 писал(а):

Доказать, что при $x>1$ и $y>1$ выполнено

$$\ln \left ({\frac {x+y} {2 \sqrt {xy}}} \right ) \geq {{\frac {x+y} {4xy} } - {\frac 1 {x+y}}}$$

Положим $xy=c^2$ ($c \geqslant 1$), $x+y=t$. Тогда $2c \leqslant t \leqslant c^2+1$. Осталось убедиться, что функция

$$ f(t)=\ln{\frac{t}{2c}}-\frac{t}{4c^2}+\frac{1}{t} $$

при этих значениях $t$ будет неотрицательной. Это нетрудно сделать при помощи производной.

[AssemblerIA64]

Благодарю. Хорошее решение.