Как я понимаю, Вы в Вашем уравнении

используете два разных способа записи скалярного произведения

и

? В общем смысле эта задача - ДУ в частных производных первого порядка и может быть исследована методом характеристик. В данном, конкретном случае, вместо вопроса о существовании решения я начну с самого решения. (Кое-что о существовании решения в более общем случае - см. ниже)
1. Если

, то

- любая дифференцируемая функция. Далее считаем

.
2. Если

имеем уравнение

, решение которого

, где

- произвольная скалярная функция векторной переменной (достаточно, чтобы она была определена в подпространстве поперек

). Далее считаем

.
3. Отмечаем тривиальное решение

и далее считаем

.
4. В остальных случаях решение Вашей задачи имеет вид

, где

Пояснения:
1. Немного аналитических преобразований.

. (Этот шаг Вы описываете в своем посте. Строго говоря, здесь нужно некоторое обсуждение ситуаций с обращением

в ноль в некоторых точках, но я от этого уклонюсь. )

, где

.
2. Комментарии о существовании решения.
а) Ваши слова о равенстве смешанных производных, как условии разрешимости, можно отнести к уравнению

. Это уравнение действительно
не имеет решений (при

и

) поскольку после дифференцирования по

мы имеем равенство

, в котором левая часть симметрична по

, а левая - нет.
Далее Вы задаете вопрос о справедливости обратного утверждения - достаточно ли для разрешимости уравнения

выполнения условия

? Ответ на этот вопрос, как мне кажется, - положительный, но, вероятно, он теряет свою актуальность (поэтому я не привожу доказательство), в силу следующего пункта.
b) Исходное скалярное уравнение

не эквивалентно векторному уравнению

, а является лишь его следствием. Если рассмотреть проекции векторного уравнения на все вектора из любого базиса, содержащего вектор

, то можно сказать что векторное уравнение - эта система уравнений (в количестве равном размерности пространства), а исходное скалярное уравнение - лишь одно из уравнений этой системы. Поэтому нет ничего удивительного в том, что исходное (скалярное) уравнение, в отличие от его векторного обобщения, может иметь решения в общем случае, когда

.
3. Решение
А здесь пока - только подсказка:
Величина

имеет смысл произведения производной функции

по направлению

на

.