Точная последовательность банаховых пространств

[Padawan]

Задача 355 из Кириллова, Гвишиани:
Дана последовательность банаховых пространств и непрерывных операторов

$$\xymatrix{ \ldots \ar[r]& L_{k-1}\ar[r]^-{T_k}& L_k \ar[r]^-{T_{k+1}} & L_{k+1} \ar[r] &\ldots }$$

Доказать, что если сопряжённая последовательность

$$\xymatrix{ \ldots& L'_{k-1}\ar[l] & L'_k \ar[l] \ar[l]_-{T'_k}& L'_{k+1} \ar[l]_-{T'_{k+1}} &\ldots\ar[l] }$$

точна, то исходная последовательность тоже точна (В тексте до этого было доказано в другую сторону, т.е. если исходная точна, то и сопряженная точна)
В указании к задаче говорится: сопряженная последовательность точна, следовательно $\mathrm{im} \ T'_k$ замкнут в $L'_{k-1}$; тогда $\mathrm{im} \ T_k$ замкнут в $L_k$.
Вот это "тогда" не могу понять.

[MaximVD]

Padawan
посмотрите учебник "Лекции по функциональному анализу" А. Я. Хелемского. Глава 2, параграф 5, упражнение 9. В этом упражнении требуется доказать то, что вам нужно и даже больше. При этом там дано подробнейшее указание с помощью которого этого упражнение становится элементарным.

[Padawan]

MaximVD в сообщении #476923 писал(а):

Padawan
посмотрите учебник "Лекции по функциональному анализу" А. Я. Хелемского. Глава 2, параграф 5, упражнение 9. В этом упражнении требуется доказать то, что вам нужно и даже больше. При этом там дано подробнейшее указание с помощью которого этого упражнение становится элементарным.

Спасибо, помотрел. Но, честно говоря, мало что понял. Можете объяснить своими словами? А то я вообще этот учебник плохо понимаю. Там даётся ссылка на упражнение 7 (i): оператор между банаховыми пространствами является топологически инъективным $\iff $ его банахов сопряженный является сюръективным.
Что значит, "топологически инъективный оператор"? Гомеоморфизм на образ?

[sup]

Может так?
Пусть $T:X \to Y$ и образ $T^{*}$ замкнут.
Покажем, что образ $T$ тоже замкнут. Пусть сначала $\operatorname{Ker}T=\{0\}$. Тогда, очевидно, $T^{*}Y^{*}=X^{*}$. Далее рассуждаем от противного. Пусть образ $T$ не замкнут.
Тогда найдется последовательность $\{x_n\}\subset X$, такая, что $\|x_n\|=1$ и $Tx_n \to 0$. По теореме Хана-Банаха найдется последовательность $\{\varphi_n\}\subset X^{*}$ такая, что $\|\varphi_n\|=1$ и $\varphi_n(x_n)=1$. В силу $T^{*}Y^{*}=X^{*}$ имеем $\varphi_n =T^{*}y_n^{*}$, где $y_n^{*}$ ограничены в $Y^{*}$.
Значит
$1=\varphi_n(x_n)=y_n^{*}(Tx_n) \to 0$
Противоречие.
Общий случай сводится к рассмотренному переходом к фактор-пространству $X/\operatorname{Ker}T$.

[MaximVD]

По терминологии в учебнике Хелемского, топологически инъективный оператор - это гомеоморфизм на образ.
Если своими словами, то получается как-то так: покажем сперва, что образ $T_k$ плотен в $\operatorname{Ker} T_{k+1}$. Если образ не плотен, то по теореме Хана-Банаха найдётся функционал $f \in L_k^*$, равный нулю на $\operatorname{Im} T_k$ и отличный от нуля на $\operatorname{Ker} T_{k+1}$. Но тогда $f \in \operatorname{Ker}(T_k^*)$ и при этом $f \notin \operatorname{Im} T_{k+1}^*$, что противоречит тому, что сопряжённая последовательность точна.
Предположим теперь, что образ $T_k$ не замкнут. Обозначим факторпространство $L_k / \operatorname{Ker}(T_{k+1})$ через $D$. Корректно определён оператор $R$ удовлетворяющий равенству $T_{k+1} = R \operatorname{pr}$, где $\operatorname{pr} \colon L_k \to D$ - естественная проекция. Ясно, что $\operatorname{Im}(T_{k+1}) = \operatorname{Im}(R)$. Покажем, что оператор $R^*$ не сюръективен. Если бы он был сюръективен, то, нетрудно проверить, что оператор $R^{**}$ был бы топологически инъективным или, что тоже самое, нашлось бы такое $C > 0$, что $\| R^{**} (F) \| \ge C \| F \|$ для всех $F$. Теперь воспользовавшись естественным вложением банахова пространства во второе сопряжённое, получаем, что оператор $R$ тоже топологически инъективен, что противоречит тому, что его образ (равный образу оператора $T_k$) не замкнут. Значит $R^*$ не сюръективен, т.е. существует $h \in D^* / \operatorname{Im}(R^*)$. Положим $f = \operatorname{pr}^* h$. Ясно, что $f \in \operatorname{Ker}(T_k^*)$, но $f \notin \operatorname{Im}(T_{k+1}^*)$, а это противоречит тому, что сопряжённая последовательность точна.

[Padawan]

sup в сообщении #477014 писал(а):

Может так?
Пусть $T:X \to Y$ и образ $T^{*}$ замкнут.
Покажем, что образ $T$ тоже замкнут. Пусть сначала $\operatorname{Ker}T=\{0\}$. Тогда, очевидно, $T^{*}Y^{*}=X^{*}$

Почему это очевидно?

[sup]

Ой, и точно ... Выдал желаемое за действительное
Тут без теоремы Банаха-Алаоглу не обойтись. Надо подумать.