Переход из трехмерного базиса в двумерный базис

[wagant]

Пусть у нас в $R^3$ задан базис $V$ с базисными векторами $v_1, v_2, v_3$, также задана некоторая плоскость $\alpha$ и на этой плоскости задан другой базис $W$ с базисными векторами $w_1, w_2$.
Пусть на плоскости $\alpha$ задана точка $A$ с координатами $(a_1, a_2, a_3)$ относительно базиса $V$. Требуется найти ее координаты в базисе $W$.

Я рассуждаю так. Построим матрицу $T$ перехода из базиса $W$ в базис $V$, эта матрица будет составлена из координат базисных векторов $w_1, w_2$ в базисе $V$. Тогда искомое преобразование из базиса $V$ в базис $W$ будет определяться матрицей $T^{-1}$.

Но вот вопрос, правильны ли мои рассуждения и что будет если применить эту матрицу для точек, не лежащих на заданной плоскости $\alpha$?

[arseniiv]

Дополните базис плоскости вектором $\vec w_3$, полученным, например, из векторного произведения первых двух, и всё должно получиться. Матрицы перехода бывают только квадратные.

[wagant]

arseniiv в сообщении #476798 писал(а):

Дополните базис плоскости вектором $\vec w_3$, полученным, например, из векторного произведения первых двух, и всё должно получиться. Матрицы перехода бывают только квадратные.

Да! Очень хорошая идея, спасибо.