Tangent circles

[ins-]

On the arc AB from the circumcircle k of the triangle ABC is chosen a random point D. Through D is constructed a tangent to k - t. Intersection points of t with the lines AC and BC are denoted with E and F respectively. Prove that circumcircles of the triangles ADE and BDF are tangent at D.

[sergey1]

Проведем касательную к описанной окружности треугольника $AED$ в точке D. Выберем на ней точку Т так, чтобы Т и В были по разные стороны от $k$.Тогда достаточно доказать равенство углов $TDF$ и $DBF$. И тот и другой равны, очевидно, разности между 180 градусами и углом $EAD$.

[ins-]

"Through D is constructed a tangent to k - t." If we replace this statement with: "Through D is constructed a line - t" the statement remains true.

[sergey1]

Действительно.
Причем решение не меняется.