Дельта функция через ядро нормального распределения

[Gortaur]

Пусть

$$ \varphi(x,y) = \frac{1}{|x|\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{y^2}{2x^2}\right\} $$

для $x\neq 0$. Верно ли, что если фунцкия $f$ непрерывна на $[-1,1]$, то

$$ \lim\limits_{x\to 0}\int\limits_{-1}^1f(y)\varphi(x,y)\,dy = f(0). $$

Я понимаю, что здесь идет построение дельта-функции через ядра нормального распределения, но не знаю какой теоремой сходимости пользоваться. Монотонной нет, интегрируемой доминанты тоже.

[ewert]

Gortaur в сообщении #476213 писал(а):

но не знаю какой теоремой сходимости пользоваться.

Никакой не теоремой. Просто $\int\limits_{|y|>\varepsilon}f(y)\varphi(x,y)\,dy\to0$ при любом фиксированном $\varepsilon$ и $\left|\int\limits_{|y|\leqslant\varepsilon}(f(y)-f(0))\varphi(x,y)\,dy\right|\leqslant\max\limits_{|y|\leqslant\varepsilon}|f(y)-f(0)|\to0$ при $\varepsilon\to0$.

[Gortaur]

ewert
Спасибо!