Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси

[Fgolm]

Здравствуйте!
Получено уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:
$I_y \ddot \varphi = \frac{{pR^3 }}{2}\sin \varphi \left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{6}\sin \varphi } \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{3}\sin \left( {\frac{\pi }{6}\sin \varphi } \right) - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right]$ (1)
Здесь угол меняется в интервале $\varphi \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right)$.
В уравнении (1) $I_y $ - это момент инерции тела относительно неподвижной оси вращения, а справа стоит, соответственно, проекция на эту ось момента сил.
В пределах каждых 45-и градусов поворота меняется выражение, зависящего от угла поворота, момента сил. Но все эти выражения относятся к типу приведенного в (1).
Мне показалось весьма затруднительным решить это уравнение аналитически.
Возникает идея такого упрощения.
Если получить среднее значение момента сил $\tilde M_y $ (либо за угол поворота в 45 градусов, для каждого интервала, либо, вообще за полный поворот - 360 градусов) и записать уравнение:
$I_y \ddot \varphi = \tilde M_y $, (2)
где
$\tilde M_y = \frac{1}{{\varphi _2 - \varphi _1 }}\int\limits_{\varphi _1 }^{\varphi _2 } {M_y \left( \varphi \right)d\varphi } $.
И, соответственно, решать теперь уравнение (2).
Что вы думаете по этому поводу?

[Kallikanzarid]

Откуда такое страшное уравнение?

[Fgolm]

Если синусы и косинусы, стоящие в правой части уравнения (1), разложить в степенные ряды, и ограничиться первыми двумя членами, то, без существенной потери точности, можно получить следующее уравнение:

$$\ddot \varphi = \frac{{pR^3 }}{{I_y }}\left[ {\left( {\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{6}} \right)\sin \varphi + \frac{{\sqrt 3 }}{6}\frac{\pi }{6}\left( {\sin \varphi } \right)^2 - \frac{1}{4}\left( {\frac{\pi } {6}} \right)^2 \left( {\sin \varphi } \right)^3 - \frac{{\sqrt 3 }}{{36}}\left( {\frac{\pi }{6}} \right)^3 \left( {\sin \varphi } \right)^4 } \right]$$

(1)
Можно воспользоваться заменой:

$$\dot \varphi = z$$

, тогда

$$\ddot \varphi = \frac{{dz}}{{d\varphi }}z$$

Это позволит проинтегрировать уравнение, и найти неизвестную функцию

$$z$$

Получим:

$$\frac{{z^2 }}{2} = \frac{{pR^3 }}{{I_y }}\left[ {a\cos \varphi + b\left( {\varphi - \frac{{\sin 2\varphi }}{2}} \right) + c\left( {\frac{1}{3}\cos 3\varphi - 3\cos \varphi } \right) + d\left( {\frac{3}{2}\varphi - \cos \varphi \sin ^3 {\kern 1pt} & \varphi - \frac{3}{4}\sin 2\varphi } \right)} \right] + сonst $$

(2)
Здесь

$$a = - \left( {\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{6}} \right);b = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\frac{\pi } {6};c = - \frac{1}{{16}}\left( {\frac{\pi }{6}} \right)^2 ;d = - \frac{{\sqrt 3 }}{{36}}\left( {\frac{\pi }{6}} \right)^3 \frac{1}{4}$$

Причем константу

$$const$$

можно найти из условия равенства нулю функции

$$z$$

при

$$\varphi = 0$$

.
Эта константа не равна нулю.
Но вот реально ли последнее уравнение решить относительно

$$\varphi $$

?

[Mopnex]

Fgolm в сообщении #476255 писал(а):

Но вот реально ли последнее уравнение решить относительно $\varphi $?

Нереально аналитически решить даже гораздо более простое точное уравнение колебаний маятника. Эллиптические интегралы.