Среднее Значение функции..

[myra_panama]

Let $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ be a continous function, differentiable on $(a,b)$ and nowhere zero on $(a,b).$
Prove that there exist $c\in (a,b)$ such that

$$\frac{f'(c)}{f(c)}=\frac{1}{a-c}+\frac{1}{b-c}$$

(Оффтоп)

Помоему, нужно подобрать какую нибудь функцию и использовать Теорему Ролля.. , ну какую.. я только только думаю... если я правильно думаю

[Sender]

Можно рассмотреть функцию $g(x)=(b-x)(x-a)\frac{f'(x)}{f(x)}-2x+a+b$, показав, что на границах отрезка [a,b] знаки её односторонних пределов различны. Поскольку g(x) будет непрерывна на интервале (a,b), где-то внутри него она примет нулевое значение.

[myra_panama]

Sender в сообщении #476042 писал(а):

Можно рассмотреть функцию $g(x)=(b-x)(x-a)\frac{f'(x)}{f(x)}-2x+a+b$, показав, что на границах отрезка [a,b] знаки её односторонних пределов различны. Поскольку g(x) будет непрерывна на интервале (a,b), где-то внутри него она примет нулевое значение.

Можно так. Но если подобрать такую : $g(x)=(b-x)(x-a)f(x)$ , и Использовать Теорему Ролля ... Да да получится все вышло ...

[Sender]

Действительно, как я не заметил столь очевидного решения?