помогите с уравнением (ОДУ)

[sasha_r]

$(e^x+1)y''-2y'-e^xy=0$ нужно хотябы частное решение... зранее благодарен!

[ИСН]

Прозреваю, что переход к $e^x$ как независимой переменной чудесным образом всё прояснит.

[ShMaxG]

Пусть дано уравнение $\[y'' + a\left( x \right)y' + b\left( x \right)y = 0\] $, пусть частное решение $\[{y_1} = {y_1}\left( x \right)\]$.

Тогда общее решение $\[y\left( x \right) = {C_1}{y_1}\left( x \right)\int {\frac{1} {{y_1^2\left( x \right)}}{e^{ - \int {a\left( x \right)dx} }}dx + {C_2}{y_1}\left( x \right)} \]$ вытекает из теоремы Лиувилля-Остроградского.

Часто при решении таких учебных уравнений можно воспользоваться следующим приемом "последовательного" получения ответа. Рассмотрим функцию $\[{e^{ - \int {a\left( x \right)dx} }}\]$. Представим ее в виде $\[{e^{ - \int {a\left( x \right)dx} }} = A\left( x \right)B\left( x \right)\]$. Тогда резон проверить, является ли $\[y = \sqrt {A\left( x \right)} \]$ или $\[y = \sqrt {B\left( x \right)} \] $ решением. Например, пусть $\[y = \sqrt {A\left( x \right)} \]$ -- решение, тогда можно взять $\[{y_1} = \sqrt {A\left( x \right)} \]$ и общее решение в этом случае $\[y = \sqrt {A\left( x \right)} \left( {{C_1}\int {B\left( x \right)dx + {C_2}} } \right)\]$.

[sasha_r]

ShMaxG в сообщении #475887 писал(а):

Пусть дано уравнение $\[y'' + a\left( x \right)y' + b\left( x \right)y = 0\] $, пусть частное решение $\[{y_1} = {y_1}\left( x \right)\]$.

Тогда общее решение $\[y\left( x \right) = {C_1}{y_1}\left( x \right)\int {\frac{1} {{y_1^2\left( x \right)}}{e^{ - \int {a\left( x \right)dx} }}dx + {C_2}{y_1}\left( x \right)} \]$ вытекает из теоремы Лиувилля-Остроградского.

Часто при решении таких учебных уравнений можно воспользоваться следующим приемом "последовательного" получения ответа. Рассмотрим функцию $\[{e^{ - \int {a\left( x \right)dx} }}\]$. Представим ее в виде $\[{e^{ - \int {a\left( x \right)dx} }} = A\left( x \right)B\left( x \right)\]$. Тогда резон проверить, является ли $\[y = \sqrt {A\left( x \right)} \]$ или $\[y = \sqrt {B\left( x \right)} \] $ решением. Например, пусть $\[y = \sqrt {A\left( x \right)} \]$ -- решение, тогда можно взять $\[{y_1} = \sqrt {A\left( x \right)} \]$ и общее решение в этом случае $\[y = \sqrt {A\left( x \right)} \left( {{C_1}\int {B\left( x \right)dx + {C_2}} } \right)\]$.

спасибо ваш приём помог! частное решение получилось $y_p=e^x-1$