минимум выпуклой функции на выпуклом множестве

[paderqa]

Здравствуйте! Подскажите в какую сторону думать!
Есть задача найти

$$\min_{x\geq 0} \max_{z\in M}\{f(x,y,z)\},$$

где $x = (x_1, x_2, ..., x_n)$, $y = (y_1, y_2, ..., y_n)$, $z = (z_1, z_2, ..., z_n).$
&M есть n-мерное множество заданное интервалами [l_i, u_i]& для любого & i\in [1,n]&, а целевая функция есть сумма: $f(x,y,z)=\sum_{i=1...n}f_i(x_i,y_i,z_i)$.
Множество ограничений имеет вид:
$y_{i+1}=x_i - z_i$ для $i \in [1,n-1].$
$y_{1}=c$ - константа,
$y_{i}\geq 0$

Пока подумалось следующее - функции $f_i(x_i,y_i,z_i)$ выпуклые, значит сумма их тоже выпуклая, но не дифференцируемая. Множество M выпукло, то есть все переменные заданы на выпуклых множествах. Итого - надо найти максимум выпуклой функции на выпуклом множестве при условии, что функция не дифференцируема...
После этого надо еще найти минимум выпуклой функции, так как максимум выпуклых функций - тоже выпуклая.

Но вот как это сделать - не знаю... Для одной переменной - экстремум достигается в крайних точках, а здесь как быть?

[MaximVD]

Выпуклая функция, определённая на замкнутом выпуклом ограниченном множестве в $\mathbb{R}^n$, достигает максимума в крайних точках этого множества. То есть от того, что переменных становится больше, ничего не изменяется.

Не совсем понятна постановка задачи. В исходной задаче - найти $\min_{x\ge 0}\max_{z \in M}f(x, y, z)$ - ни о каких ограничениях на переменные $y$ не сказано. Если я правильно понял, то $M= [l_1, u_1]\times \ldots \times [l_n, u_n]$, где $l_i$ и $u_i$ заданы, так? Зачем тогда ограничения $y_{i+1} = x_i - z_i$?
Вас интересуют численные методы решения задачи или вы хотите найти какие-нибудь условия экстремума и воспользоваться ими?

[paderqa]

MaximVD в сообщении #475938 писал(а):

Выпуклая функция, определённая на замкнутом выпуклом ограниченном множестве

В моем случае &x\geq 0& - это не ограниченное и не замкнутое множество... Тогда это утверждение не работает?

Задача есть по сути задача линейного программирования. Переменная &z& принадлежит ограниченному выпуклому множеству &M& - по ней нужно найти внутренний максимум, переменная &x\in \mathbb{R}^+& есть переменная по которой нужно найти минимум, а переменную &y& из песни не выкинешь - и известно что она связана с первыми двумя переменными вышеуказанными ограничениями.
И в добавление к первому посту известно, что &y\geq 0&.

Моя цель без численных методов найти такое значение $x$, что функция достигает своего минимума. Ну и значение функции соответственно. То есть экстремум.

В частности, моя проблема будет близка к решенной, если является верным переход(с учетом записанных ранее ограничений):
$\min_{x\geq 0} \max_{z\in M}\{f(x,y,z)\},$
=
$\min_{x\geq 0} \max\{f(x,y,l), f(x,y,u)\}$.

То есть можно ли просто подставить крайние значения переменной $z$ и сказать, что в одном из них достигается минимум функции по $z$?
И вообще - что можно почитать по этой теме? катастрофическая нехватка знаний(