тригонометрическое соотношение.

[Руст]

Пусть $a,b,c,d$ целые числа и $|a|\not =|b|, |c|+|d|>2$.
Существует ли такое $x$, что $\tg(ax)=c, \ \tg(bx)=d.$

[MMyaf]

А что надо сделать. Показать, что действительно существует такое х, или принять, что такое х существует и найти его?

[Руст]

Ответить, возможно ли такое соотношение.

[незваный гость]

MMyaf писал(а):

А что надо сделать. Показать, что действительно существует такое х, или принять, что такое х существует и найти его?

Либо доказать существование решения данной системы (хотя бы при некоторых значениях параметров), либо доказать, что оно не существует. По существу, задача сводится к вопросу: $\frac{\arctg a}{\arctg b} \in {\mathbb Q}$ кроме тривиальных случаев.

[juna]

Можно уточнить: $\frac{arctg(c)}{arctg(d)}=\frac{a}{b}$, только вот не понятно, зачем еще $|c|+|d|>2$.
Можно также говорить об отношении площадей под кривой $\frac{1}{1+x^2}$, или $b\int\limits_{0}^{c}{\frac{\\dx}{1+x^2}}-a\int\limits_{0}^{d}{\frac{\\dx}{1+x^2}}=0$ и дальше попытаться применить теорему о среднем.

[maxal]

Вопрос сводится к тому, может ли отношение

$$\frac{(1+i c)^b}{(1+i d)^a}$$

при указанных ограничениях и $(a,b)=1$ быть действительным числом.

[Sasha2]

Ну одно тривиальное решение есть a=0, c=0, x определяется из второго уравнения при произвольных b и d (или наоборот b и d равны нулю, а a и c определяются из первого уравнения) при соответствующих ограничениях.

[незваный гость]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

вот не понятно, зачем еще $|c|+|d|>2$

Чтобы исключить тривиальные случаи.

Sasha2 писал(а):

Ну одно тривиальное решение есть a=0, c=0, x определяется из второго уравнения при произвольных b и d (или наоборот b и d равны нулю, а a и c определяются из первого уравнения) при соответствующих ограничениях.

Что не вполне удалось. Вероятно, идея была $\min(|c|, |d|) > 1$

[Руст]

Да упустил, что числа $a^2+c^2, b^2+d^2$ ненулевые.

[juna]

Если нигде не напутал, то у меня получилось, что для существования решения должно выполняться равенство:
$(\frac{1+di}{1-di})^a*(\frac{1-ci}{1+ci})^b=1$

[maxal]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Если нигде не напутал, то у меня получилось, что для существования решения должно выполняться равенство:
$(\frac{1+di}{1-di})^a*(\frac{1-ci}{1+ci})^b=1$

Это равносильно тому, что я написал выше.

[RIP]

В связи с этой задачей возник вопрос. Имеет ли уравнение

$$x^2+1=2y^n$$

решение в целых x,y,n, больших 2? Может, кто знает?

[Руст]

На это можно ответить рассмотев уравнение Пелля $x^2-Dz^2=-1$, $D=2$ для чётного $n$ и $D=2y$ для нечётного $n$.

[worm2]

RIP писал(а):

В связи с этой задачей возник вопрос. Имеет ли уравнение

$$x^2+1=2y^n$$

решение в целых $x,y,n$, больших $2$? Может, кто знает?

Маленький электронный друг знает. $x=239, y=13, n=4.$
А какое отношение это имеет к задаче?

[RIP]

Забыл сказать, что n нечетно.

worm2 писал(а):

А какое отношение это имеет к задаче?

Если решений нет, то отсюда следует, что и в исходной задаче(с поправкой) ответ отрицательный.