Лемма о вложенных отрезках для рациональных чисел

[ean]

ewert в сообщении #475623 писал(а):

ассмотрите последовательность отрезков , где -- это -разрядные десятичные приближения корня из двух с недостатком и с избытком.

Спасибо.

alex1910 в сообщении #475624 писал(а):

Или разберите задачу по сути - докажите, что если лемма верна, то Q полно.

Этим я занимаюсь следующим этапом. На самом деле, насколько я понимаю, лемма не эквивалента аксиоме полноты. Вывести аксиому полноты можно из этой леммы и постулирования принципа Архимеда.

[alex1910]

ewert в сообщении #475643 писал(а):

alex1910 в сообщении #475635 писал(а):

В случае R есть три общеупотребительных эквивалентных критерия полноты:существование разделяющей точки, лемма о вложенных отрезках, существование супремума у ограниченного сверху множества.

Вот именно. И любой из критериев, естественно, вполне может служить исходным определением. И, между прочим, очень даже служат -- далеко не все аксиомой полноты называют справедливость именно критерия Коши. Так что при выборе соответствующего варианта этой аксиомы Ваше замечательное доказательство от противного будет выглядеть примерно так:

"Итак, нам надо доказать, что найдётся последовательность вложенных отрезков, пересечение которых пусто. Известно, что множество рациональных чисел не полно. Т.е. в нём найдётся последовательность вложенных отрезков, пересечение которых пусто. Но тогда обязательно найдётся последовательность вложенных отрезков, пересечение которых пусто. Ч.т.д."

Вы этому собираетесь детишек учить, да?...

alex1910 в сообщении #475635 писал(а):

Если человек не в состоянии доказать, что между любыми двумя действ. числами можно "засунуть" рациональное - он ничего не понял про действительные числа.

Ой напрасно Вы вот это конкретно написали. Мало того, что это не имеет ни малейшего отношения к исходной задаче, так оно ещё не имеет отношения и к специфике именно действительных чисел.

Напомню: неполнота рациональных чисел в смысле вложенных отрезков -- это вещь в себе, и вполне элементарная, поэтому доказывать её, опираясь на свойства вещественных чисел, т.е. на возможность пополнения рациональных, попросту неприлично.

Это Вы непонятно, как детишек учите, если все так превратно понимаете.

Впрочем, с наездами предлагаю завязать, если хотите продолжить - есть ЛС.

На Ваш крайний наезд отвечаю тут, раз уж он попал в общую переписку.

1. если лемма верна, то верно и то, что любое ограниченное сверху множество рациональных чисел имеет супремум.

Возьмем множество A={ x - рациональное, x*x<2}.

Оно, очевидно, ограничено и не имеет максимума, следовательно есть рациональное y = sup A, не принадлежащее A.

Возьмем множество B={ x - рациональное, x*x>2}.

По понятным причинам B=Q\A и y принадлежит B.

В B нет минимального элемента, следовательно существует z из B, z<y

А значит y - не супремум, следовательно лемма неверна.

2. Про "вставление" рациональных чисел в произвольный интервал - это верно для любого поля F, являющегося расширением поля Q, если это поле архимедово и упорядочено плюс немного естественных ограничений на порядок. Так что никакой полноты, разумеется, не нужно - я этого и не утверждал.

3. Все опущенные в 1 доказательства сможете восстановить сами, надеюсь. Заметьте, нигде в 1 действительные числа вообще не используются.

[ewert]

bnovikov в сообщении #475645 писал(а):

Дихотомией отрезка

Дихотомией называется метод половинного деления. Это примерно то же, что я предлагал, только вместо десятичных дробей потребляются двоичные. Да, без дробей обойтись будет лучше; но не так наглядно.

[bnovikov]

ewert в сообщении #475692 писал(а):

Дихотомией называется метод половинного деления. Это примерно то же, что я предлагал, только вместо десятичных дробей потребляются двоичные. Да, без дробей обойтись будет лучше; но не так наглядно.

Не знаю, что нагляднее, но мне не нужно даже знать о существовании $\sqrt{2}$.

[ewert]

alex1910 в сообщении #475652 писал(а):

Все опущенные в 1 доказательства сможете восстановить сами, надеюсь.

А зачем, спрашивается?... Вы там пытаетесь выковырять кусочек доказательства общеизвестного и общетеоретического факта: что утверждение леммы эквивалентно существованию супремумов и эквивалентно критерию Коши. Дело благое, конечно, однако не имеет ни малейшего отношения к исходному вопросу: построить конкретный контрпример

bnovikov в сообщении #475699 писал(а):

но мне не нужно даже знать о существовании $\sqrt{2}$.

Мне тоже не нужно. Если говорить формально. А если по существу, то этот корень всем нужен (как ориентир).

Точнее говоря, нужно зацепиться за хоть какое-то иррациональное число (например, в смысле дедекиндова сечения).