Кольцо множеств, порожденное прообразом системы

[ellipse]

Система множеств $\mathfrak{S}$, замкнутых относительно симметрической разности и пересечения, называется кольцом.

Пусть $S$ - некоторая система множеств. Минимальное кольцо содержащее $S$ будем обозначать $\mathfrak{R}(S)$.
Пусть $X, Y $- множества, $S$ - некоторая система подмножеств множества $Y$, $f:X\rightarrow Y$. Нужно доказать, что $\mathfrak{R}(f^{-1}(S))=f^{-1}(\mathfrak{R}(S))$.

Вообще, если $\mathfrak{S}$ - кольцо, то и $f^{-1}(\mathfrak{S})$ - кольцо. $\mathfrak{R}(S)$ - кольцо, поэтому $f^{-1}(\mathfrak{R}(S))$ является кольцом, содержащим $f^{-1}(S)$. Из минимальности $\mathfrak{R}(f^{-1}(S))$ очевидно включение $\mathfrak{R}(f^{-1}(S))\subseteq f^{-1}(\mathfrak{R}(S))$.

Как доказать обратное включение?

[PAV]

Нужно рассмотреть совокупность множеств $A\in\mathfrak{R}(S)$ таких, что $f^{-1}(A)\in\mathfrak{R}(f^{-1}(S))$. Доказать, что они образуют кольцо, содержащее $S$, и посмотреть, что отсюда следует.

[ellipse]

PAV, спасибо!

$\mathfrak{T} = \{A\in\mathfrak{R}(S)\ |\ f^{-1}(A)\in\mathfrak{R}(f^{-1}(S))\}$
Очевидно, что $\mathfrak{T}$ кольцо, так как операции симм.разность и пересечение не выводят за пределы множества.
Если $A\in S$, тогда $f^{-1}(A)\in f^{-1}(S) \subseteq \mathfrak{R}(f^{-1}(S))$, поэтому $S \subseteq \mathfrak{T} \subseteq \mathfrak{R}(S)$.
Ввиду минимальности $\mathfrak{R}(S)$ имеем равенство $\mathfrak{T} = \mathfrak{R}(S)$.
Если $A\in \mathfrak{T}$, то по построению $f^{-1}(A)\in\mathfrak{R}(f^{-1}(S))$, поэтому $f^{-1}(\mathfrak{T})\subseteq \mathfrak{R}(f^{-1}(S))$.
Наконец, $f^{-1}(\mathfrak{R}(S))=f^{-1}(\mathfrak{T})\subseteq \mathfrak{R}(f^{-1}(S))$.

[PAV]

Кажется, такой метод называется "принцип подходящих множеств". Можно было бы взять совокупность всех подмножеств $A\subset Y$, обладающих указанным свойством, тогда эта совокупность образовывала бы кольцо, содержащее $S$, и следовательно, содержащая $\mathfrak{R}(S)$, а далее точно так же.

[ellipse]

Как быть, если речь идет о минимальной $\sigma$-алгебре? Что взять в качестве единицы $\mathfrak{T} = \{A\subset Y\ |\ f^{-1}(A)\in\mathfrak{R}(f^{-1}(S))\}$ ?
Может взять $E=\bigcup_{B\in S} B$.
Можно ли показать, что $f^{-1}(E)=\bigcup_{B\in S} f^{-1}(B)\in \mathfrak{R}(f^{-1}(S))$. Ведь здесь объединение, вообще говоря, не счетное, а алгебра замкнута только относительно счетных объединений.

Может необходимо потребовать, чтобы $\bigcup_{B\in S} B = \bigcup_{n} B_n$, где $B_n\in S$.
Вообще, мне нужно доказать критерий измеримости функции и $S$ - это множество полупрямых $\{x\in \mathbb{R}\ |\ x<c\}$.

[ellipse]

Наверно лучше сделать $\mathfrak{T}$ как можно меньше, чтобы единица была меньше.
Положим $\mathfrak{T}= \{A\in\mathfrak{R}(S)\ |\ f^{-1}(A)\in\mathfrak{R}(f^{-1}(S))\}$. Тогда в качестве единицы $\mathfrak{T}$ можно взять $E$ - единицу $\mathfrak{R}(S)$ и потребовать, чтобы $E = \bigcup_{n} B_n$, где $B_n\in S$.
Осталось, проверить, что $f^{-1}(E)\in \mathfrak{R}(f^{-1}(S))$.
$f^{-1}(E)=\bigcup_{n}f^{-1}(B_n)\in \mathfrak{R}(f^{-1}(S))$, так как $f^{-1}(B_n)\in f^{-1}(S)$.

Все-таки, как можно обойтись без дополнительного условия о представлении $E$ в виде счетного объединения множеств из $S$?
В учебнике "Элементы функционального анализа" Колмогорова-Фомина (Гл.1 $5 п.5) это утверждение дано, как упражнение, и там не делается никаких дополнительных предположений.

[PAV]

ellipse в сообщении #476793 писал(а):

Как быть, если речь идет о минимальной $\sigma$-алгебре? Что взять в качестве единицы $\mathfrak{T} = \{A\subset Y\ |\ f^{-1}(A)\in\mathfrak{R}(f^{-1}(S))\}$ ?
Может взять $E=\bigcup_{B\in S} B$.

В данном случае единицей будет $Y$

[ellipse]

PAV в сообщении #476879 писал(а):

В данном случае единицей будет $Y$

Почему $f^{-1}(Y)\in \mathfrak{R}(f^{-1}(S))$?

[PAV]

$f^{-1}(Y)=X$, а $X$ должно входить в любую сигма-алгебру соответствующих подмножеств.

[ellipse]

PAV в сообщении #476922 писал(а):

$f^{-1}(Y)=X$, а $X$ должно входить в любую сигма-алгебру соответствующих подмножеств.

Почему? Например, возьмем $X=\mathbb{R}$, $Y=\mathbb{R}$, $S = \{[0;1]\}, f(x)=x+1$. Тогда $\mathfrak{R}(S)=\{\varnothing;[0;1]\}$, $f^{-1}([0;1])=[-1;0]$, $\mathfrak{R}(f^{-1}(S))=\{\varnothing;[-1;0]\}$ и $X \nsubseteq \mathfrak{R}(f^{-1}(S))$.

[PAV]

Любая сигма-алгебра содержит пустое множество, а также вместе с любым своим множеством содержит и его дополнение до всего пространства, в котором мы работаем.