2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Второе сопряженное пространство, линейные отображения....
Сообщение12.08.2011, 13:01 
Если $V$-- векторное пространство над полем $K$, то линейное отображение $\pi\colon V\to V^{**}$ этого пространства в своё второе сопряженное, задаваемое формулой $\pi(x)(f)=f(x)$, $x\in V$, $f\in V^*$ является иньективным. Это равносильно тому, что для любого $x\in V, x\neq 0$, существует $f\in V^*$, такое, что $f(x)\neq 0$. Последнее, в свою очередь, следует из того, что $x$ можно дополнить до базиса.

Пусть теперь $V$ -- модуль над кольцом $A$. Будет ли аналогичное отображение $\pi\colon V\to V^{**}$ инъективным в общем случае? Другими словами, следует ли из того, что $x\neq 0$ существование $f\in V^*$ такого, что $f(x)\neq 0$.

Если нет, то какие для этого достаточные условия. Например, если $A$ - тело, то будет. А если целостное кольцо с единицей?

 
 
 
 Re: Второе сопряженное
Сообщение12.08.2011, 14:58 
Padawan в сообщении #475041 писал(а):
А если целостное кольцо с единицей?

Некоммутативное? Но тогда ведь $V^*$ не является модулем.

 
 
 
 Re: Второе сопряженное
Сообщение12.08.2011, 19:27 
Joker_vD в сообщении #475056 писал(а):
Некоммутативное? Но тогда ведь $V^*$ не является модулем.

Действительно, не заметил. Пусть коммутативное будет тогда. Короче говоря, в модулях эта конструкция не используется?

 
 
 
 Re: Второе сопряженное
Сообщение12.08.2011, 23:29 
Joker_vD в сообщении #475056 писал(а):
Некоммутативное? Но тогда ведь $V^*$ не является модулем.

Является: если $V$ - левый модуль, то $V^*$ - правый.

 
 
 
 Re: Второе сопряженное
Сообщение13.08.2011, 06:20 
bnovikov в сообщении #475145 писал(а):
Joker_vD в сообщении #475056 писал(а):
Некоммутативное? Но тогда ведь $V^*$ не является модулем.

Является: если $V$ - левый модуль, то $V^*$ - правый.

Я тоже об этом подумал, но не получается, к сожалению. Как определить произведение функционала $f\in V^*$ на скаляр $a\in A$?

 
 
 
 Re: Второе сопряженное
Сообщение13.08.2011, 06:38 
Padawan в сообщении #475165 писал(а):
Я тоже об этом подумал, но не получается, к сожалению. Как определить произведение функционала $f\in V^*$ на скаляр $a\in A$?


$(fa)(x)=f(ax)$

 
 
 
 Re: Второе сопряженное
Сообщение13.08.2011, 06:44 
$(fa)(bx)=f(abx)=(ab)f(x)$, но $b(fa)(x)=bf(ax)=(ba)f(x)$. Значит $(fa)(bx)\neq b(fa)(x)$, т.е. $fa\not\in V^*$

 
 
 
 Re: Второе сопряженное
Сообщение13.08.2011, 07:19 
Извините, ошибся; думал о бимодулях.
Посмотрите

Фейс К. Алгебра, кольца, модули и категории (том 1), стр.181-182 (Дуальные модули).

 
 
 
 Re: Второе сопряженное
Сообщение15.08.2011, 15:12 
bnovikov в сообщении #475171 писал(а):
Посмотрите
Фейс К. Алгебра, кольца, модули и категории (том 1), стр.181-182 (Дуальные модули).

Посмотрел, спасибо. Надо определить произведение так
$(fa)(x)=f(x)a$. Тогда всё получается, $V^*$ становится правым модулем над $A$.
$(fa)(bx)=f(bx)a=bf(x)a=b(fa)(x)$, т.е. $fa\in V^*$.
$((fa)b)(x)=((fa)(x))b=(f(x)a)b=f(x)ab=(f(ab))x$, т.е. $(fa)b=f(ab)$

-- Пн авг 15, 2011 17:14:31 --

bnovikov в сообщении #475171 писал(а):
Извините, ошибся; думал о бимодулях.

Всё правильно, кольцо $A$ -- бимодуль над самим собой.

 
 
 
 Re: Второе сопряженное
Сообщение15.08.2011, 20:32 
Аватара пользователя
Гомоморфизм $\pi_V$ является мономорфизмом для любого модуля $V_R$ тогда и только тогда, когда $R_R$ -- кообразующий (это практически по определению). А модуль $C_R$ является кообразующим если и только если в него вкладываются инъективные оболочки любых простых правых $R$-модулей.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group