Второе сопряженное пространство, линейные отображения....

[Padawan]

Если $V$-- векторное пространство над полем $K$, то линейное отображение $\pi\colon V\to V^{**}$ этого пространства в своё второе сопряженное, задаваемое формулой $\pi(x)(f)=f(x)$, $x\in V$, $f\in V^*$ является иньективным. Это равносильно тому, что для любого $x\in V, x\neq 0$, существует $f\in V^*$, такое, что $f(x)\neq 0$. Последнее, в свою очередь, следует из того, что $x$ можно дополнить до базиса.

Пусть теперь $V$ -- модуль над кольцом $A$. Будет ли аналогичное отображение $\pi\colon V\to V^{**}$ инъективным в общем случае? Другими словами, следует ли из того, что $x\neq 0$ существование $f\in V^*$ такого, что $f(x)\neq 0$.

Если нет, то какие для этого достаточные условия. Например, если $A$ - тело, то будет. А если целостное кольцо с единицей?

[Joker_vD]

Padawan в сообщении #475041 писал(а):

А если целостное кольцо с единицей?

Некоммутативное? Но тогда ведь $V^*$ не является модулем.

[Padawan]

Joker_vD в сообщении #475056 писал(а):

Некоммутативное? Но тогда ведь $V^*$ не является модулем.

Действительно, не заметил. Пусть коммутативное будет тогда. Короче говоря, в модулях эта конструкция не используется?

[bnovikov]

Joker_vD в сообщении #475056 писал(а):

Некоммутативное? Но тогда ведь $V^*$ не является модулем.

Является: если $V$ - левый модуль, то $V^*$ - правый.

[Padawan]

bnovikov в сообщении #475145 писал(а):

Joker_vD в сообщении #475056 писал(а):

Некоммутативное? Но тогда ведь $V^*$ не является модулем.

Является: если $V$ - левый модуль, то $V^*$ - правый.

Я тоже об этом подумал, но не получается, к сожалению. Как определить произведение функционала $f\in V^*$ на скаляр $a\in A$?

[bnovikov]

Padawan в сообщении #475165 писал(а):

Я тоже об этом подумал, но не получается, к сожалению. Как определить произведение функционала $f\in V^*$ на скаляр $a\in A$?

$(fa)(x)=f(ax)$

[Padawan]

$(fa)(bx)=f(abx)=(ab)f(x)$, но $b(fa)(x)=bf(ax)=(ba)f(x)$. Значит $(fa)(bx)\neq b(fa)(x)$, т.е. $fa\not\in V^*$

[bnovikov]

Извините, ошибся; думал о бимодулях.
Посмотрите

Фейс К. Алгебра, кольца, модули и категории (том 1), стр.181-182 (Дуальные модули).

[Padawan]

bnovikov в сообщении #475171 писал(а):

Посмотрите
Фейс К. Алгебра, кольца, модули и категории (том 1), стр.181-182 (Дуальные модули).

Посмотрел, спасибо. Надо определить произведение так
$(fa)(x)=f(x)a$. Тогда всё получается, $V^*$ становится правым модулем над $A$.
$(fa)(bx)=f(bx)a=bf(x)a=b(fa)(x)$, т.е. $fa\in V^*$.
$((fa)b)(x)=((fa)(x))b=(f(x)a)b=f(x)ab=(f(ab))x$, т.е. $(fa)b=f(ab)$

-- Пн авг 15, 2011 17:14:31 --

bnovikov в сообщении #475171 писал(а):

Извините, ошибся; думал о бимодулях.

Всё правильно, кольцо $A$ -- бимодуль над самим собой.

[lofar]

Гомоморфизм $\pi_V$ является мономорфизмом для любого модуля $V_R$ тогда и только тогда, когда $R_R$ -- кообразующий (это практически по определению). А модуль $C_R$ является кообразующим если и только если в него вкладываются инъективные оболочки любых простых правых $R$-модулей.