Предел суммы

[xmaister]

Здравствуйте! Попалась вот такая задача:
Пусть $m,n$- взаимно простые натуральные числа и $n$- чётное. Для любого натурального $r$ определим целое $f(r)$, такое, чтобы $\left|\frac{f(r)}{r}-\frac{m}{n}\right|$ было минимальным. Найти $\lim\limits_{k\to\infty}\frac1{k}\sum\limits_{r=1}^{k}\left|\frac{f(r)}{r}-\frac{m}{n}\right|r$
Решить не смог.

[alcoholist]

попробуйте Теорему Штольца

[Руст]

Вы нечетко определили $f(r)$ как ближайшее целое к $\frac{rm}{n}$.Тем не менее число $g(r)=r|\frac{f(r)}{r}-\frac{m}{n}|=|f(r)-\frac{rm}{n}|$ определено корректно (где $f(r)$ определяется или как верхнее или как нижнее абсолютная величина разницы все равно 1/2).
Так как функция $g(r)$ периодична с периодом n, то достаточно считать сумму по периоду. Так как $rm\mod n$ принимает все вычеты по одному разу, то эта сумма равна $\frac 1n (2\sum_{k=1}^{n/2-1}k +n/2)=\frac n4$. Предел равен среднему, т.е. $\frac 14.$

[nnosipov]

xmaister в сообщении #474954 писал(а):

Попалась вот такая задача ...

Хорошо бы в таких случаях указывать источник (олимпиада, книга, форум и т.п.).

[xmaister]

nnosipov в сообщении #474974 писал(а):

xmaister в сообщении #474954 писал(а):

Попалась вот такая задача ...

Хорошо бы в таких случаях указывать источник (олимпиада, книга, форум и т.п.).

(Оффтоп)

Putnam 1958