стержень

[Oleg Zubelevich]

Написать уравнения движения тонкого стержня с неподвижной точкой (идеальная связь) в поле силы тяжести. Все геометрические характеристики задачи и распределение масс в стержне известны.

[dovlato]

Если движение в вертикальной плоскости - задача не олимпиадная.
Если описывается коническая поверхность - задача, видимо, в рамках средней школы не решается.

[Oleg Zubelevich]

Движение произвольное, не в плоскости и не по конусу, вообще говоря.

[Утундрий]

Сферический маятник a la naturel...

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #475262 писал(а):

Сферический маятник a la naturel...

Неверно, сферический маятник это материальная точка [ЛЛ-1]

[Padawan]

Вводим обобщенные координаты: угловые координаты одного из концов стержня, выражаем через них кинетическую энергию, потенциальную энегрию, записываем уравнения Лагранжа...
Пусть $\theta$, $\lambda$ -- широта и долгота, $0\leqslant\theta\leqslant\pi$, $0\leqslant\lambda<2\pi$ ($\theta=0$ -- выбранный конец в верхней точке). Скорость конца равна $v=r\sqrt{\left(\frac{d}{dt}(\sin\theta\cos\lambda)\right)^2+\left(\frac{d}{dt}(\sin\theta\sin\lambda)\right)^2+\left(\frac{d}{dt}(\cos\theta)\right)^2}$. Отсюда угловая скорость $\omega=v/r=\omega(\theta,\lambda,\dot\theta,\dot\lambda)$. Кинетическая энергия стержня $T=\frac{I\omega^2}{2}$, где $I$ -- момент инерции стержня относительно оси, ему перпендикулярной и проходящей через точку подвеса. Потенциальная энергия $P=mgl\cos\theta$, где $m$ -- масса стержня, $l$ -- расстояние от точки подвеса до центра масс стежня, взятое со знаком плюс, если центр масс лежит со стороны взятого конца, и со знаком минус в противном случае.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #475419 писал(а):

Отсюда угловая скорость

Угловая скорость чего?

[Padawan]

Распределение скоростей в стержне такое же, как если бы он вращался вокруг оси, проходящей через точку подвеса перпендикулярно стержню.

[Oleg Zubelevich]

Да, это решение.