вопрос по теории операторов

[slavent]

Вопрос чисто математический, но описать его коротко нельзя, так как нюансы имеют значение, поэтому попробую описать чуть шире.
Проблема из квантовой механики, а вопрос из области теории операторов и алгебраических неравенств.
Суть в следующем:
пусть имеем некое пространство операторов со следом на функциях гильбертова пространства $L^2$, то есть норма вычисляется как след. Обозначим оператор $f$, который действует в гильбертовом пространстве двух переменных как $f=f_{2}(1,2),$ то есть он действует на функцию двух переменных. То есть норма $||f_{2}(1,2)||=\operatorname{Tr}_{1,2}|f_{2}(1,2)|.$
Допустим, имеется операторная задача с начальным условием (задача Коши), решение которой записывается в виде

$$f_2(t,1,2)=e^{-itH_2}f_2(0,1,2)e^{itH_2}$$

(это известное решение квантового уравнения Лиувилля или еще называют - уравнения фон Неймана для системы из двух частиц. $H_2$ - оператор Гамильтона системы двух частиц, является самосопряженным.) Для простоты обозначим действие експонент следующим образом

$$ \mathcal{G}_{2}(t)f_2(1,2)\doteq e^{-itH_{2}}f_2\,e^{itH_{2}}.$$

Поскольку операторы $e^{-itH_{2}}$ и $e^{itH_{2}}$ - унитарные, то решение также есть унитарный оператор, то есть

$$||f_{2}(t,1,2)||=\operatorname{Tr}_{1,2}|f_{2}(t,1,2)|=\operatorname{Tr}_{1,2}|\mathcal{G}_{2}(t)f_2(0,1,2)|=\operatorname{Tr}_{1,2}|f_2(0,1,2)|=||f_{2}(0,1,2)||.$$

Теперь сам вопрос: представим себе, что решение представляется в виде

$$ f_2(t,1,2)=\Big(\mathcal{G}_{2}(t,1,2)-\mathcal{G}_{1}(t,1)\mathcal{G}_{1}(t,2)\Big)f_2(0,1,2).$$

где операторы $\mathcal{G}_{1}(t,1)$ и $\mathcal{G}_{1}(t,2)$ действуют только на указанные переменные.

Теперь ищем норму такого решения

$$ ||f_2(t,1,2)||=\operatorname{Tr}_{1,2}|\Big(\mathcal{G}_{2}(t,1,2)-\mathcal{G}_{1}(t,1)\mathcal{G}_{1}(t,2)\Big)||f_2(0,1,2)|.$$

используем неравенство $|a-b|\leq|a|+|b|$, имеем

$$ ||f_2(t,1,2)||\leq \operatorname{Tr}_{1,2}\Big(|\mathcal{G}_{2}(t,1,2)|+|\mathcal{G}_{1}(t,1)||\mathcal{G}_{1}(t,2)|\Big)||f_2(0,1,2)| =2\operatorname{Tr}_{1,2}|f_2(0,1,2)|=2||f_2(0,1,2)||.$$

Но из физических соображений в данном случае норма также должна быть 1, то есть оператор $|\Big(\mathcal{G}_{2}(t,1,2)-\mathcal{G}_{1}(t,1)\mathcal{G}_{1}(t,2)\Big)|$ должен быть унитарным.

Вопрос в том, можно ли как то по другому оценить норму данного оператора - он должен быть унитарным. На мой взгляд, главная загвоздка в неравенстве $|a-b|\leq|a|+|b|$ - оно очень грубое.

Выше я привел детальное описание, чтобы понять природу этого оператора и, возможно, там найти выход.
Задача на первый взгляд сложная из-за физической подоплеки и связью с квантовой механикой, но проблема, предполагаю, только в неравенстве.

В силу своей углубленности в узкий профиль своей специальности, возможно, я не вижу ответ. Возможно, специалисты по теории операторов смогут что-то подсказать.

[ewert]

slavent в сообщении #474595 писал(а):

то есть норма вычисляется как след.

Совершенно ничего невозможно понять, начиная с того, что такое единичка с двойкой и какой вообще смысл может иметь обозначение $f(1,2)$. Но вот что однозначно: след -- это ни разу не норма. У него нет положительности.

[slavent]

ewert в сообщении #474612 писал(а):

slavent в сообщении #474595 писал(а):

то есть норма вычисляется как след.

Совершенно ничего невозможно понять, начиная с того, что такое единичка с двойкой и какой вообще смысл может иметь обозначение $f(1,2)$. Но вот что однозначно: след -- это ни разу не норма. У него нет положительности.

Писал покороче, что-то да и пропустил: конечно, же след положительный, поскольку оператор $f_2(1,2)$ - положительный, и норма - это след от модуля, как описано выше , и он должен быть конечным.
Теперь о том, что такое $f_2(1,2)$: допустим имеем гильбертово пространство $L^2(R^2)$ и функции ему принадлежащие $\psi_2(x_1,x_2)$ - двух переменных. На эти функции действует оператор $f$, то есть оператор действует на две переменные функции двух переменных. Но поскольку в задаче также имееются операторы, которые действуют на одну переменную функции двух переменных - первую или вторую, то для записи таких операторов я и использую обозначение для операторов $f_2(1,2)$ или $f_1(1)$. Более наглядно это можно видеть записав действие операторов в интегральном представлении через их ядра, но это очень большие выражения и оперировать ими тяжело, поэтому, для упрощения используют такое обозначение - цифры в скобках обозначают на какие переменные действует оператор. Можно еще по-другому: оператор $f_2(1,2)$ действует на $\psi_2(x_1,x_2)$ в пространстве $L^2(R^2)$ или, что то же самое, через тензорное произведение, как оператор $f_2(1,2)=f_1(1)\otimes f_1(2)$ в пространстве $L^2(R^2)=L^2(R^1) \otimes L^2(R^1).$ В свою очередь, оператор$f_1(1)$действует на$\psi_2(x_1,x_2)$в пространстве$L^2(R^2)=L^2(R^1) \otimes L^2(R^1)$ как оператор $f_1(1)\otimes I$, где $I$- единичный оператор.

Вообще, думаю, к сути вопроса это имеет очень малое отношение, больше интересует есть ли возможности обойти више описанное грубое неравенство в оценке.

[slavent]

Ладно, понимаю, что вникнуть в то, во что я вникал месяц - сложно.
Переформулирую: может кто подскажет, есть ли такие неравенства для модуля разницы двух операторов, можна даже чисел, которые оцениваются сверху разницей модулей. То есть, нужны неравенства вида $|a-b|\leq f(|a|,|b|,|a|-|b|)$. Может даже ряд, главное, чтобы оценивалось разницей модулей. Может кто сталкивался.

[MaximVD]

Неравенство $|a - b| \leq |a| + |b|$ для чисел не очень грубое, поскольку оно выполняется как равенство, если числа $a$ и $b$ имеют разный знак. Да и для нормы неравенство $\| x - y \| \leq \| x \| + \|y \|$ не очень грубое, потому что оно выполняется как равенство, если, например, существует такое $\lambda \le 0$, что $x = \lambda y$. (Для нормы, например, в $L_2(\mathbb{R})$ это к тому же и необходимое условие выполнение такого неравенства, как равенства.)

[Vince Diesel]

slavent в сообщении #474672 писал(а):

То есть, нужны неравенства вида $|a-b|\leq f(|a|,|b|,|a|-|b|)$. Может даже ряд, главное, чтобы оценивалось разницей модулей. Может кто сталкивался.

Может, имелось в виду что-то вроде $|a-b|\leq f(|a|,|b|)g(|a|-|b|)$, где $g(x)\to0$ при $x\to0$? Или, более обще, $\lim_{z\to0}f(x,y,z)=0$ при фиксированных $x,y$ (иначе $|a+b|\le f(|a|,|b|,|a-b|)=|a|+|b|$ подойдет). Но на такое не стоит рассчитывать. Взять хотя бы ортогональные проекции вектора из $\mathbb R^n$ на две координатных оси. Тогда $|a-b|>0$, $|a|-|b|=1-1=0$.