Последовательность, найти $a_1$

[xmaister]

Последовательность $\{a_n\}$ удовлетворяет условию $a_na_{n+1}=n$. Известно, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=1.$ Найти $a_1$

(Оффтоп)

Думал сделать так, т.к. другого не видно $a_n=a_{n+2}\frac{n}{n+1}$
$a_{2n}=\frac{(2n-1)!!}{a_1(2n-2)!!},a_{2n+1}=\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}a_1$.
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{2n}}{a_{2n+1}}=\frac2{a_1^2}\pi=1\Rightarrow a_1=\sqrt{\frac{2}{\pi}}$
Нагуглил формулу Валлиса, а как её доказать не нагуглил. Подскажите.

[Dan B-Yallay]

xmaister в сообщении #474592 писал(а):

Нагуглил формулу Валлиса, а как её доказать не нагуглил. Подскажите.

На английском:
http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html