Котангенс как ряд из обратных синусов

[Volodya-morda]

Доказать, что

$$\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\sin{\frac{(1-a)\pi}{2^i}}}=\ctg {a\pi}\,\,\,\,\,\,\,\,(0<a<1)$$

[nnosipov]

Что-то не так в условии: ряд расходится.

[Volodya-morda]

То есть, как это? Можно поподробней? Почему расходится?

[ИСН]

Потому что общий член не стремится к нулю.

[Volodya-morda]

Я уже понял, поэтому постараюсь сейчас изложить суть метода...

-- 04.08.2011, 19:15 --

Легко показать, что верно следующее равенство

$$\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{2^i}{x^{2^i}+1}=\frac{1}{x-1}\,\,\,\,\,\,\,\,(1<x)$$

Умножаем обе части на $x^{-a}$ и интегрируем от ноля до бесконечности. В итоге нужно вычислить эти определенные интегралы
1.$\int_o^{+\infty}\frac{x^{-a}}{x^{2^i}+1}\,dx=\frac{\pi}{2^i\sin{\frac{(1-a)\pi}{2^i}}}\,(1-2^i<a<1)$
2.$\int_o^{+\infty}\frac{x^{-a}}{x-1}\,dx=\pi\ctg{a\pi}\,(0<a<1)$
Где ошибка?

[mihiv]

Равенство записано для $x>1$,а интегрируете от 0.

[Volodya-morda]

Тупанул, извиняюсь!
Есть у кого-нибудь какие-то предложения по поводу функции $f(x)$, такой что

$$\sum\limits_{i=1}^{\infty}2^i\int_x^\infty\frac{f(t)}{t^{2^i}+1}\,dt=\int_x^\infty\frac{f(t)}{t-1}\,dt\,\,\,\,\,\,\,(1<x)$$

?
Понимаю, что таких функций наверное бесконечно много, но мне нужны конкретные примеры(и если можно, то чтоб интегрирование не сводилось к каким-то страшным 10-и-этажным выражениям )

[Azog]

Тождественный ноль подойдет?