2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 аппроксимация полиномами (функция Рунге и другие)
Сообщение03.08.2011, 15:38 
День добрый!
Предположим что дана функция Рунге $y=1/(1+25 x^2)$ и она ограничена. Подскажите где можно посмотреть/прочитать/изучить как аппроксимировать её(и не только её) полиномами. Спасибо.


upd в википедии есть статья по поводу аппроксимации этой функции. Мне необходимо знать механизм как это сделать, как получить полином, которым можно аппроксимировать эту функцию (другие функции).

 
 
 
 Re: аппроксимация полиномами
Сообщение03.08.2011, 17:11 
Книжку Бахвалов Жидков Кобельков посмотрите. Вот эту: http://lib.mexmat.ru/books/780
Там довольно много про аппроксимации написано.

 
 
 
 Re: аппроксимация полиномами
Сообщение03.08.2011, 17:36 
спасибо за наводку, посмотрю обязательно

 
 
 
 Re: аппроксимация полиномами
Сообщение08.08.2011, 08:31 
Аватара пользователя
0. Функция Рунге это пример функции, которую очень плохо приближать полиномами (на отрезке -1;1, как сам Рунге показывал). По мере увеличения степени полинома она между точками интерполяции начинает шалить. Вместо гладкого и ровного поведения начинаются колебания и выбросы.
Если кратко - это связано с тем, что на комплексной плоскости функция имеет полюс очень близко к данному отрезку.
1. Обычная техника интерполяции состоит в том, что мы выбираем точки, вычисляем в них функцию, а затем находим полином такой, что в выбранных точках его значения совпадают со значениями функции. Вариантов такого находения предложено много. Можно представить в виде взвешенной суммы полиномов выбранной степени таких, что во всех точках, кроме выбранной, они равны нулю, а в выбранной единице (Лагранж), можно заметить, что n-ные разности у полинома n-ной степени равны константе, посчитать разности вычисленных значений функции и исходя из них получить полином, предлагались и другие подходы.
2. Если данные получены в эксперименте, то требование точного прохождения несколько неестественно, и лучше требовать приближённого равенства (если качество приближения равно сумме квадратов отклонений измеренных от вычисленных значений - это метод наименьших квадратов, МНК, есть и другие критерии).

 
 
 
 Re: аппроксимация полиномами
Сообщение08.08.2011, 08:46 
Можно интерполировать по чебышёвским узлам, тогда всё хорошо сходится.

 
 
 
 Re: аппроксимация полиномами
Сообщение08.08.2011, 20:53 
Аватара пользователя
Sender в сообщении #474089 писал(а):
Можно интерполировать по чебышёвским узлам, тогда всё хорошо сходится.

А если не интерполировать, а аппроксимировать (как в первом посту спрашивали), то будет сходиться ещё лучше. Задача аппроксимации - это геометрическая задача о проекции вектора на конечномерное подпространство, и рассматривается в учебниках линейной алгебры. Но лучше не глядя в учебники попробовать самому что-то вывести.

 
 
 
 Re: аппроксимация полиномами
Сообщение10.08.2011, 17:21 
Аватара пользователя
На практике, если $f(x)$ на некотором отрезке плохо аппроксимируется полиномами, пробуют аппроксимировать полиномами $1/(f(x)+c)$. Зачастую срабатывает даже простейший случай $c=0$.

 
 
 
 Re: аппроксимация полиномами (функция Рунге и другие)
Сообщение15.04.2012, 10:49 
при интерполяции полиномами Лагранжа, ближе к разрывам функции, интерполянт начинает нехило колебаться, причем чем больше я узлов беру для интерполяции (соответственно степень полинома Лагранжа растет), тем больше интерполянт отклоняется от функции Рунге.

Выше написано, что это связано с тем, что функция Рунге имеет полюс очень близко к данному открезку - не могли бы Вы пояснить это? или указать где это написано/объяснено?

 
 
 
 Re: аппроксимация полиномами (функция Рунге и другие)
Сообщение15.04.2012, 20:41 
и еще такой вопрос: как выглядит полином Лагранжа?

у меня при построении получается так (100 узлов взял):
Изображение

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group