Integral

[myra_panama]

Вычислить следующий интеграл: $ I=\int\left(\frac{\arctg x}{\arctg x-x}\right)^{2}\ \text{d}x $, $x>0$

[ewert]

$=\int\frac{x^2+1}{x^2}\arctg^2x\,d\frac{1}{\arctg x-x}.$

После интегрирования по частям знаменатель сократится.

[myra_panama]

ewert в сообщении #472546 писал(а):

$=\int\frac{x^2+1}{x^2}\arctg^2x\,d\frac{1}{\arctg x-x}.$

После интегрирования по частям знаменатель сократится.

ммм ..... спасибо ... черт не догадал...
$ I=\int\left(\frac{\arctan x}{\arctan x-x}\right)^{2}\ \text{d}x =\int\frac{x^{2}+1}{x^{2}}\arctan^{2}xd(\frac{1}{\arctan x-x})=\text{интегрируем по частям}=\frac{x^{2}+1}{x^{2}}\arctan^{2}x\frac{1}{\arctan x-x}-\int\frac{1}{\arctan x-x}[-\frac{2}{x^{3}}\arctan^{2}x+\frac{2}{x^{2}}\arctan x]dx=\frac{x^{2}+1}{x^{2}}\arctan^{2}x\frac{1}{\arctan x-x}+2\int\frac{\arctan x}{x^{3}}dx=\frac{x^{2}+1}{x^{2}}\arctan^{2}x\frac{1}{\arctan x-x}-\int\arctan xd(\frac{1}{x^{2}})=\frac{x^{2}+1}{x^{2}}\arctan^{2}x\frac{1}{\arctan x-x}-\frac{1}{x^{2}}\arctan x+\int\frac{1}{x^{2}(1+x^{2})}dx=\frac{x^{2}+1}{x^{2}}\arctan^{2}x\frac{1}{\arctan x-x}-\frac{1}{x^{2}}\arctan x+\int\frac{1}{x^{2}}dx-\int\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{x^{2}+1}{x^{2}}\arctan^{2}x\frac{1}{\arctan x-x}-\frac{1}{x^{2}}\arctan x-\frac{1}{x}-\arctan x+C $