Inequality

[man111]

If $a,\;b,\;c>0\;,$ Then $\displaystyle ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\geq \sum_{cyclic}ab\sqrt{\frac{a}{b}(b+c)(c+a)}$

[arqady]

man111 в сообщении #472513 писал(а):

If $a,\;b,\;c>0\;,$ Then $\displaystyle ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\geq \sum_{cyclic}ab\sqrt{\frac{a}{b}(b+c)(c+a)}$

Согласно AM-GM имеем:
$\sum\limits_{cyc}ab\sqrt{\frac{a}{b}(b+c)(c+a)}=\sum\limits_{cyc}a\sqrt{a(b+c)\cdot b(c+a)}\leq$
$\leq\frac{1}{2}\sum\limits_{cyc}a(ab+ac+bc+ab)=\sum\limits_{cyc}\left(a^2b+\frac{1}{2}a^2c+\frac{1}{2}abc\right)\leq\sum\limits_{cyc}(a^2b+a^2c)$.
Для выражения $\sum\limits_{cyc}(a^2b+a^2c)$ имеется ещё следующая забава:

Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:

$$\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}\geq6\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc}\right)^{\frac{4}{5}}$$