Решение дифференциального уравнения.

[EvilPhysicist]

Допстим надо решить дифур $ \cfrac{d^2 f(x)}{dx^2} = -k^2 f $, $ f \in C^\infty, \quad \lim\limits_{x \to +- \infty} =0, \quad f(x)=f(-x), \quad \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) dx =1 $.
Представим искомую функцию как $ f(x)= \sum\limits_{k=0}^\infty c_n e^{inx} $.

Можем ли мы сказать, что $ \int\limits_{-\infty}^\infty e^{inx} dx =0 $, ведь $ \int\limits_{-\infty}^\infty e^{inx} dx= \lim\limits_{s \to \infty} s \int\limits_{-\pi}^{\pi} \cfrac{1}{n} e^{inx} d(nx) = \lim\limits_{s \to \infty} 0=0 $?

Если да, то тогда можно вычислить все $ c_n $ и получить ряд $ f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n e^{inx} $ подставить его вместо функции в исходный дифур сказать, что $ -k^2 f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n \cfrac{d^2}{dx^2} e^{inx}= - \sum\limits_{n=0}^\infty c_n n^2 e^{inx} $ и соответсвенно получить $ f(x)= \sum\limits_{n=0}^\infty c_n \cfrac{n^2}{k^2} e^{inx} $, что вроде как противоречит исходному ряду $ f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n e^{inx} $.

[ewert]

EvilPhysicist в сообщении #472414 писал(а):

Допстим надо решить дифур $ \cfrac{d^2 f(x)}{dx^2} = -k^2 f $, $ f \in C^\infty, \quad \lim\limits_{x \to +- \infty} =0, \quad f(x)=f(-x), \quad \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) dx =1 $.

Не допустим. Поскольку у Вас та же самая буковка $k$ далее используется как индекс -- решением будет попросту $C_1\cos kx+C_2\sin kx$, и ничего более.

[EvilPhysicist]

ewert в сообщении #472418 писал(а):

Поскольку у Вас та же самая буковка $k$ далее используется как индекс -- решением будет попросту $C_1\cos kx+C_2\sin kx$, и ничего более.

Чего-то я не совсем понял свзяь между тем, что у меня буква $k$ используется как индекс, что безусловино недостаток обозначения, и тем, какое решение имеет дифур.

И я лучше условия перепишу.
Надо решить дифур $ \cfrac{d^2 f(x)}{dx^2} = -k^2 f $, с условиями $ f \in C^\infty, \quad \lim\limits_{x \to +- \infty} =0, \quad f(x)=f(-x), \quad \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) dx =1 $

Представим искомую функцию как $ f(x)= \sum\limits_{n=0}^\infty c_n e^{inx} $.

Можем ли мы сказать, что $ \int\limits_{-\infty}^\infty e^{inx} dx =0 $, ведь $ \int\limits_{-\infty}^\infty e^{inx} dx= \lim\limits_{s \to \infty} s \int\limits_{-\pi}^{\pi} \cfrac{1}{n} e^{inx} d(nx) = \lim\limits_{s \to \infty} 0=0 $?

Если да, то тогда можно вычислить все $ c_n $ и получить ряд $ f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n e^{inx} $ подставить его вместо функции в исходный дифур сказать, что $ -k^2 f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n \cfrac{d^2}{dx^2} e^{inx}= - \sum\limits_{n=0}^\infty c_n n^2 e^{inx} $ и соответсвенно получить $ f(x)= \sum\limits_{n=0}^\infty c_n \cfrac{n^2}{k^2} e^{inx} $, что вроде как противоречит исходному ряду $ f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n e^{inx} $.

[ИСН]

Это противоречие - как бы такое жирное "Нет", которым природа отвечает на Ваше "Представим". Нет. Не представим.

[_hum_]

EvilPhysicist
Если вы пытались искать решение через разложение в ряд Фурье, то надо было писать $f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i \omega n x}$, где участвует еще одна неизвестная $\omega$ - циклическая частота (отвечающая за период вашего искомого решения).

[Vince Diesel]

Если $k$ зависит от чего-то, то это надо написать. А если постоянная, то общее решение ураавнения выписывается явно и удовлетворяющего поставленным условиям нет.