Биномиальные ряды. Свойство.

[Vvp_57]

Пусть: $f\left(m \right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty } \binom{5k}{k}\frac{1}{\left(4k+1\right)m^{4k+1}}$
Докажите что:
$\arctg \left(f\left(m \right) \right)+\operatorname{arth\left(f \left(m \right)\right)}=2\cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty } \binom{5k}{k}\frac{\left(5k+1 \right)}{\left(4k+1\right)^2 m^{4k+1}}$
При условии что $m$ больше чем $\frac{5\sqrt[4]{5}}{4}=1.8691..$

А если взять:
$f\left(m \right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty } \binom{3k}{k}\frac{1}{\left(2k+1\right)m^{2k+1}}$
то
$\operatorname{arth\left(f \left(m \right)\right)}=\sum\limits_{k=0}^{\infty } \binom{3k}{k}\frac{\left(3k+1 \right)}{\left(2k+1\right)^2m^{2k+1}}$
При условии что $m$ больше чем $\frac{3\sqrt{3}}{2}=2.5980..$