УЧП через ДУ в Банаховом пространстве

[Gortaur]

У меня есть пробел по УЧП, который я хотел бы восполнить. А именно: есть ли где изложения следующей теории. Пусть $X$ - банахово пространство, $x(t)\in X$ для всех $t\geq 0$ и $f:X\to X$ - липшицево отображение. Есть ли теория по уравнениям

$$ x'(t) = f(x(t)). $$

Например, существование-единственность решения и т.д. С последующим примененим к изучению УЧП вида $u_t = Lu$ как частного случая (где $L$ - дифференциальный оператор).

[Vince Diesel]

Ну, уравнения вида $x'=Lx$, где $L$ линейный оператор, много изучался, есть целые тома по теории полугрупп. Однако обычно рассматриваются неограниченные операторы, опереденные на каком-то плотном подмножестве и т.п. Поскольку как раз этот случай имеет место для дифференциальных операторов. Например, если $X=L_2$, а $L=\Delta$, то отбражение $L: X\to X$ определено не для всех элементов $X$. Поэтому этот оператор рассматривается на множестве функций из $X$, для которых $\Delta u\in L_2$. И на этом множестве оператор Лапласа неограничен.

[Oleg Zubelevich]

Gortaur в сообщении #471868 писал(а):

У меня есть пробел по УЧП, который я хотел бы восполнить. А именно: есть ли где изложения следующей теории. Пусть $X$ - банахово пространство, $x(t)\in X$ для всех $t\geq 0$ и $f:X\to X$ - липшицево отображение. Есть ли теория по уравнениям

$$ x'(t) = f(x(t)). $$

это не принято называть УЧП ,это ОДУ в банаховом пространстве. Теорема существования и единственности совершенно такая же как и в конечномерном случае. См. Л. Шварц Анализ том 2.

Gortaur в сообщении #471868 писал(а):

С последующим примененим к изучению УЧП вида $u_t = Lu$ как частного случая (где $L$ - дифференциальный оператор).

Приведите пример дифференциального оператора ,который действовал бы как липшицев оператор из банахова пространства в себя. Не вкладываются УРЧП в эту схему, вообще говоря.

[Gortaur]

Vince Diesel
Oleg Zubelevich
Ясно, спасибо. Я понимаю, что это не УЧП а ОДУ для Банаховых пространств - я противного и не писал вроде. Словом, по этому ключевые слова - теория полугрупп, а по УЧП все же надо изучать отдельную литературу из-за неограниченности и невездезаданности операторов.

[Oleg Zubelevich]

начать можно с Иосида Функциональный анализ