Точки на плоскости.

[Sirion]

Можно ли на плоскости выбрать бесконечное множество точек так, чтобы не все они лежали на одной прямой, а расстояние между любыми двумя точками множества выражалось целым числом?

[Руст]

Нельзя. Можно взять пару близких точек А и В. Тогда на каком угодно далеком расстоянии будут находится точки С, не лежащие на прямой АВ. А это противоречит тому, что близкие но большие расстояния АС и ВС будут целыми.

[Sirion]

Кхм. Не совсем понял это рассуждение. Вообще говоря, если построить гиперболу с фокусами в точках А и В и целой разностью, то на её ветвях сколь угодно далеко от фокусов будут встречаться подходящие точки С.

[Руст]

Да, точки удаляются не в перпендикулярном направлении.
Поэтому надо фиксировать три произвольные точки (треугольник с целыми сторонами. Тогда для четвертой точки остается только конечное множество вариантов, когда все взаимные расстояния между этими 4 мя точками целые. Это уже доказывает конечность точек. Надо проверить, кажется на плоскости (не лежащей на одной прямой) не существует пяти точек, для которых все взаимные расстояния целые.

[Sirion]

Руст в сообщении #471634 писал(а):

Надо проверить, кажется на плоскости (не лежащей на одной прямой) не существует пяти точек, для которых все взаимные расстояния целые.

Если требовать лишь чтобы не все они были коллинеарны, то можно выбрать сколь угодно большое конечное множество с целыми взаимными расстояниями. Для точек общего положения - честно говоря, не в курсе.

[Руст]

Да, для любого n, можно расположить n-2 точек на прямой и выбрать две точки, не лежащие на прямой, чтобы все взаимные расстояния были целыми. Поэтому для 5 точек идет речь для случая, когда никакие три из них не лежат на одной прямой.

[ИСН]

Ой, смотрите: http://isthe.com/chongo/tech/math/n-clu ... uster.html