Про правильные многоугольники

[Slip]

Доброго времени суток.

Возник такой вопрос: пусть есть $n$ точек $(x_i,y_i)$ на плоскости, причем выполнены равенства $\sum\limits_{i=1}^nx_i=\sum\limits_{i=1}^ny_i=\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i=0$ и $\sum\limits_{i=1}^nx_i^2=\sum\limits_{i=1}^ny_i^2=1$. Верно ли, что тогда точки $(x_i,y_i)$ будут находиться в вершинах правильного $n$-угольника?

Честно сказать, ничего путного в голову не приходит - рассмотрение $n$-мерных векторов $(x_1,\ldots,x_n)$ и $(y_1,\ldots,y_n)$ ни к чему хорошему не ведет (ну да, получаются 3 попарно ортогональных единичных вектора, но надо-то к отдельным координатам переходить). Индукцией вряд ли получится, потому что от правильного $(n+1)$-угольника к $n$-угольнику переход плохой. Если пытаться рассматривать точки как комплексные числа, то условия плохо записываются. Ну и контрпример не придумывается. Подскажите, что можно сделать?

[Null]

У вас 5 ограничений на 2n переменных, так что уже начиная с n=3 должны быть контрпримеры, при n=5 например подходит квадрат с центром.

[Slip]

ну да, я тоже думал что это мало правдоподобно, просто пример не мог придумать. А если дополнительно предположить, что точки лежат на одной окружности? Да, все равно, конечно, n+4 ограничения на 2n переменных, но тут уже более похоже на правду.

[ewert]

Расположите две группы точек в первой и в третьей четверти симметрично относительно начала координат и симметрично относительно биссектрисы $y=x$. И добавьте к ним ровно такую же конфигурацию, но повёрнутую на 90 градусов.

[Slip]

Да, действительно. Спасибо))