Полиномы от экспонент и их отношение

[Volodya-morda]

Доказать следующее
$\prod\limits_{i=1}^\infty(1-e^{-i})=\frac{1}{e-1}e^{1+\frac{3}{2}\ln(1+e^{-\frac{3}{2}})+\int_0^\frac{3}{2}\frac{\varphi}{e^\varphi+1}d\varphi-\frac{\pi^2}{12}}$

[Vince Diesel]

Вы просто так что ли буквы пишите? Левая часть меньше единицы, а правая больше.

[Volodya-morda]

Хорошо, привожу свое доказательство, будем разбираться, где ошибка.
Допустим, мне каким-то образом стало известно, что выполняется следующее равенство

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(\int_0^n\ln(1+e^{\frac{3}{2}+t})dt-n^2-n+\sum\limits_{i=2}^{n+1}\ln(e^i-1)-\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}$$

Дальше, если я правильно посчитал, должно получится
1.

$$\int_0^n\ln(1+e^{\frac{3}{2}+t})dt=\frac{n^2}{2}+\frac{3}{2}n+\frac{\pi^2}{12}-\int_0^\frac{3}{2}\frac{\varphi}{1+e^\varphi}d\varphi-\frac{3}{2}\ln(1+e^{-\frac{3}{2}})$$

2.подставляя последнее выражение для интеграла в исходное, путем умножения на n, и всевозможных сокращений, должно выйти как в искомой формуле.
Где я допустил ошибку?

-- 25.07.2011, 19:57 --

Ага, пока что нашел только одну
$\prod\limits_{i=1}^\infty(1-e^{-i})=(e-1)e^{\frac{3}{2}\ln(1+e^{-\frac{3}{2}})+\int_0^\frac{3}{2}\frac{\varphi}{e^\varphi+1}d\varphi-\frac{\pi^2}{12}-1}$

[Vince Diesel]

Предел равен $2$. В пункте 1

$$ \int_0^n\ln(1+e^{\frac{3}{2}+t})dt+\int_0^\frac{3}{2}\frac{\varphi}{1+e^\varphi}d\varphi= -\text{Li}_2\left(-e^{n+\frac{3}{2}}\right)-\frac{\pi ^2}{12}+\frac{9}{8}-\frac{3}{2} \log \left(1+e^{3/2}\right). $$

Здесь $Li_2$ это дилогарифм.