Нет, все-таки не получается: как найти асимптотику
![$$\int\limits_0^{1-x^{-a}} \frac{\sqrt{1-t^2}}{\ln x + \ln (1-t^2)}dt, a>0$$ $$\int\limits_0^{1-x^{-a}} \frac{\sqrt{1-t^2}}{\ln x + \ln (1-t^2)}dt, a>0$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/d/d0d93cc14c624d45706cc2551a7f20e882.png)
т.е. сама функция будет
![$\frac{1}{\ln x}$ $\frac{1}{\ln x}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/e/8ae18e73d226479c8f541e973afbc32b82.png)
, а константа какая?
Да всё нормально. Если взять альфу меньше единицы, то для этой части интеграла действительно можно раскладывать в ряд по отрицательным степеням логарифма икса, что и даст нужную асимптотику, причём даже весь асимптотический ряд (поскольку недостающие хвостики любого из интересных для этого интегралов заведомо убывают более-менее степенным образом, т.е. много меньше любой отрицательной степени логарифма). Ну а отброшенный хвостик для исходного интеграла -- тоже, конечно, оценивается степенным образом.
Это всё, конечно, если имелось в виду
![$x\to0$ $x\to0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/7/ab73e06f72e00b7ba828d29484ae1d7b82.png)
.
-- Вс июл 24, 2011 21:26:49 -- и будет себе степенной ряд по обратным сепеням
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
.
Только он будет всё же лишь асимптотическим. Т.е. его радиус сходимости будет равен нулю.