Задача по топологии: подмножество субмаксимального пр-ва

[dzh0rdzh1]

Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей.
Топологическое пространство $X$ называется субмаксимальным, если в нем каждое всюду плотное множество открыто. Нужно доказать, что если $X$ - субмаксимальное топологическое пространство и $A\subset X$ - подмножество $X$, то граница $Fr(A)=\overline{A}\bigcup \overline{X\setminus A}$ множества $A$ является дискретным подпространством $X$.

[Виктор Викторов]

dzh0rdzh1 в сообщении #470367 писал(а):

$Fr(A)=\overline{A}\bigcup \overline{X\setminus A}$

Думаю, что Вы имели в виду $Fr(A)=\overline{A}\bigcap \overline{X\setminus A}$.

Что касается утверждения, что «граница $Fr(A)=\overline{A}\bigcap \overline{X\setminus A}$ множества $A$ является дискретным подпространством $X$», то Вы уверены что в задании сказано «дискретным», а не «антидискретным»? Ведь почти все открытые множества пространства $X$ имеют с $Fr(A)$ пустое пересечение. Только одно открытое множество имеет с $Fr(A)$ непустое пересечение. Подумайте какое.

[Someone]

Виктор Викторов, насчёт формулы $Fr(A)=\overline{A}\cap\overline{X\setminus A}$ Вы, конечно, правы, а вот насчёт остального...
Кстати, "$B$ - дискретное подпространство $X$" означает, что для каждого $x\in B$ существует такая окрестность $Ux\subseteq X$, что $Ux\cap B=\{x\}$.
Вообще, задача настолько проста, что практически любая подсказка - это уже решение.

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #470403 писал(а):

...насчёт остального...

Не понял. Там же нет этих $Ux$, которые $Ux\cap B=\{x\}$. Исключение, если граница состоит из одного элемента. Хотелось бы понять где я с Вашей точки зрения вру.

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #470407 писал(а):

Там же нет этих $Ux$, которые $Ux\cap B=\{x\}$.

Есть. Но если я это $Ux$ напишу, то это будет полное решение. А писать полное решение запрещено правилами.

[Виктор Викторов]

Рассматривая пример, вижу, что ошибаюсь. Возьмем пространство вещественных чисел и в нем рассмотрим множество -- все пространство без двух точек. Эти две точки и есть граница и у каждой точки, конечно, есть открытая окрестность, имеющая в пересечении с этой окрестностью только лишь саму эту точку границы.
С другой стороны, рассмотрим на плоскости в качестве пространства круг вместе с окружностью. Открытый круг -- открытое всюду плотное множество в этом пространстве, а его окружность граница этого открытого круга. Каковы открытые множества этой окружности как подпространства?

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #470413 писал(а):

его окружность граница этого открытого круга. Каковы открытые множества этой окружности как подпространства?

??? Обычные.

Someone в сообщении #470409 писал(а):

если я это $Ux$ напишу, то это будет полное решение

dzh0rdzh1, начните с (очень простого) доказательства того, что в субмаксимальном пространстве $X$ граница $Fr(A)=\overline{A}\bigcap \overline{X\setminus A}$ любого множества $A\subseteqX$ является нигде не плотным множеством: если $U\subseteq X$ - открытое множество и $U\subseteq \overline A$, то $U\cap A$ открыто в $X$.

P.S. По правилам форума Вы должны продемонстрировать собственные попытки решения. Если их не будет, то дальше Вам вряд ли будут подсказывать, тем более, что задача чрезвычайно простая.

[dzh0rdzh1]

Спасибо за обсуждения! Задача действительно простая. Достаточно заметить, что для любого множества $C\subset A\setminus Int(A)$ множество $X\setminus C$ всюду плотно. Следовательно, $C$ замкнуто в $X$. Аналогично, любое множество $C\subset \overline{A}\setminus A$ замкнуто в $X$. Тогда любое множество $C\subset \overline{A}\bigcap \overline{X\setminus A}$ представляется в виде объединения двух замкнутых множеств, следовательно, само является замкнутым.