Интегральное уравнение

[Gortaur]

Есть уравнение Фредгольма 2го рода

$$ w(x) = g(x)+\int\limits_0^M w(y)f(x-y)\,dy $$

где $f\geq 0$, $f\in C^\infty(\mathbb R\setminus\{c\})$ для некоторого $c$ и $\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\,dt\leq 1$. Насчет $g$ известно, что $0\leq g(t)\leq 1$. Надо его решить для $w(x)$ на $[0,M]$. Функции $g,f$ даны. Известно также, что $w\in C([0,M])$ и лежит между $0$ и $1$.

Выполняется условие:

$$\sup\limits_{x\in[0,M]}\,\,\,\,\,\,\int\limits_0^M f(x-y)dy = \alpha<1$$

- так что решение единственно и оператор сжимающий. Не знаю, можно ли решить его аналитически, но для численных методов засада: $1-\alpha\approx 0.001$. Ряды Неймана сходятся очень медленно и нужна просто огромная сетка для этих вычислений.

Мне нужно получить решение с $\varepsilon$-точностью (в абсолютном смысле). Поступило предложение сделать дискретизацию и решать как СЛАУ - но я не знаю насчет точности этих методов. Можете кто разбирается в этом?

[sup]

Похоже на уравнение Винера-Хопфа, но и только. Аналитическое решение вроде не просматривается. Вместо стандартного метода последовательных приближений можно попробовать такую модификацию.
Пусть $\tilde f$ такова, что разность $h=f-\tilde f$ "мала", а уравнение

$$ w(x) = g(x)+\int\limits_0^M w(y)\tilde f(x-y)\,dy $$

допускает "хорошее" приближенное решение $\tilde w=\operatorname {L}g$. Тогда можно попробовать следующую схему.
$w_{k+1} = \operatorname {L}g_k$
$g_k(x)=g(x) +\int\limits_0^M w_k(y)h(x-y)\,dy$
Предполагается, что оператор $\operatorname {L}$ будет отслеживать особенности $f$.
Ну, например, не глядя на пределы интегрирования, "профурьируем" уравнение и получим
$\hat w(1- \hat f)=\hat g$
И отсюда каким-то образом извлечем $\tilde w$.
Можно заменить $M$ на $\infty$ и попробовать использовать аналитическое решение уравнения Винера-Хопфа (там, однако, придется решать пару задач сопряжения ... )

Ну а можно попробовать использовать интегральные уравнения с вырожденным ядром
$f(x-y) \approx \sum a_k(x)b_k(y)$
Тогда
$w(x)=g(x)+ \sum C_ka_k(x)$
Подставляем и получаем СЛУ относительно неизвестных $C_k$.
Здесь ну просто напрашивается разложение $f(x)$ в ряд Фурье на отрезке $[-M,M]$.