Найти наименьшее k, при котором верно утверждение

[myra_panama]

Найти наименьшее $k\in \mathbb{R}$ , при котором для любых $a,b,c\in\mathbb{R}$ справедливо утверждение: если на отрезке $[-1,1]$ выполняется неравенство

$$|ax^2+bx+c|\le h$$

, то

$$|a|+|b|+|c|\le kh$$

[Gortaur]

Первое, что приходит на ум - разбить $\mathbb R^3$ на три множества: когда максимум двучлена достигается на одной из границ - и когда в середине. Делается это переписыванием

$$ ax^2+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a} $$

и анализов случаев $a<0,a=0,a>0$ плюс анализом $\frac{b}{2a}$.

Тогда для каждого из этих множеств задача упростится, например если $A$ такое, что максимум достигается на правой границе, то

$$ |a+b+c|\leq h \Rightarrow |a|+|b|+|c|\leq kh. $$

Соответственно, ищите минимальное $k$ для каждого из этих множеств - а потом берет максимум из полученных трех.

[myra_panama]

(попытка решении проверьте)

Неравенство выполняется при k=3 ,
Если $f(x)=ax^2+bx+c$ и $h=\max\limits_{x\in[-1,1]}|f(x)|$ , то значения $f(1),f(-1),f(0)$ по модулю не превосходят h , то
$a+b+c\le h$
$-a-b-c\le h$
$a-b+c\le h$
$-a+b-c\le$
$c\le h$
$-c\le h$
Достаточно , теперь установить справедливость неравенств :
$a+b-c\le 3h$
$a-b-c\le 3h$
$-a-b+c\le 3h$
$-a+b+c\le 3h$

[TOTAL]

Если $|a|+|b|+|c| > 3h,$ то одновременно не могут быть верны неравенства

$|a+b+c| \le h,$
$|a-b+c| \le h,$
$|c| \le h.$

С другой стороны, $k$ не меньше 3, т.к. для $a=2h, b=0, c=-h$ условие на коэф-ты выполнено.