Точки и гравитационная энергия.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #470209 писал(а):

Помедитируйте над уравнением $\ddot{x}=kx,$ $k>0.$ Какой вид имеют его решения?

Общий вид решения дать не могу, но совершенно точто, что функция $ x= Ae^{\sqrt{k}x}+B e^{\sqrt{k}x} $ является решением, ну ещё и $ x= A sin(i \sqrt{k}x)+B cos(i \sqrt{k}x) $.

[DenisKolesnikov]

EvilPhysicist

(Оффтоп)

Общий вид дан почти правильно:
$x=Ae^{\sqrt{k}t}+Be^{-\sqrt{k}t}$

[Munin]

Morkonwen в сообщении #470193 писал(а):

могу доказать если хотите, но это будет оффтоп

Нет, почему, здесь даже теорема Ирншоу не будет офтопом :-)

-- 21.07.2011 15:28:50 --

EvilPhysicist в сообщении #470212 писал(а):

Munin в сообщении #470209 писал(а):

Помедитируйте над уравнением $\ddot{x}=kx,$ $k>0.$ Какой вид имеют его решения?

Общий вид решения дать не могу, но совершенно точто, что функция $ x= Ae^{\sqrt{k}x}+B e^{\sqrt{k}x} $ является решением, ну ещё и $ x= A sin(i \sqrt{k}x)+B cos(i \sqrt{k}x) $.

Почти правильно. Функции, которые вы записали, называются несколько иначе, гиперболический синус и гиперболический косинус, по определению
$\mathstrut$\\ $-i\sin ix=\sh x$\\ $\mathstrut\cos ix=\ch x$
Так что общее решение, кроме названного DenisKolesnikov-ым(?), записывается также в виде
$x=A\sh\sqrt{k}t+B\ch\sqrt{k}t.$
А теперь откройте любую энциклопедию и посмотрите на графики гиперболических синуса и косинуса при действительном аргументе. Похоже это на колебания?

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #470218 писал(а):

А теперь откройте любую энциклопедию и посмотрите на графики гиперболических синуса и косинуса при действительном аргументе

Ну это я и так знаю $ sh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $, $ ch(x)=\frac{e^x+e^-x}{2} $. Не периодические, $ \lim\limits_{x \to +- \infty} ch(x) =+ \infty$, $ch(0)=1$. $\lim\limits_{x \to +- \infty}=+- \infty $, $sh(0)=0$.

Но вот, что меня смущает.
Пусть 4 закреплённые частицы с одинаковыми массами $M$ находятся в точках (-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1), а начальный импульс частицы $p_0= m (v_0,0)$, а начальная координата (-0.5,0). Можно свести задачу к одномерному случаю и отбросить 2 частицы, на оси ox не лежащие, тога $ E=\frac{p_0^2}{2m} + 2GM + \frac{2}{3}GM = \frac{m}{2} \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + GM \left( \frac{1}{\lvert x-1 \rvert} + \frac{1}{\lvert x+1 \rvert} \right)$

$$ \sqrt{ E- GM \left( \frac{1}{\lvert x-1 \rvert} + \frac{1}{\lvert x+1 \rvert} \right)} = \frac{dx}{dt} $$

разве у этого уравнения не может быть периодических решений?

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #470241 писал(а):

разве у этого уравнения не может быть периодических решений?

Вообще, считается, что падение точно на притягивающий центр непродолжимо за этот центр. Если брать его аккуратно как предел кеплеровского движения, то получается отскок назад. Конечно, это можно даже загнать в периодический режим, вот только колебания там ни в коей мере не будут малыми. И уж совсем точно - не в окрестности экстремума.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #470284 писал(а):

Если брать его аккуратно как предел кеплеровского движения, то получается отскок назад

Брать интеграл имеется в виду?

Munin в сообщении #470284 писал(а):

вот только колебания там ни в коей мере не будут малыми. И уж совсем точно - не в окрестности экстремума.

Справедливо.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #470312 писал(а):

Брать интеграл имеется в виду?

Какой интеграл?

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #470284 писал(а):

Вообще, считается, что падение точно на притягивающий центр непродолжимо за этот центр. Если брать его аккуратно как предел кеплеровского движения, то получается отскок назад

Второе предложение, я не понял брать кого?

[Morkonwen]

DenisKolesnikov в сообщении #470197 писал(а):

Morkonwen

(Оффтоп)

Не, доказывать мне не надо, эт я знаю:)

Хм. Если рассматривать на плоскости , то при отталкивании действительно возможно устойчивое! И это... странно!

-- Чт июл 21, 2011 21:32:34 --

Munin в сообщении #470218 писал(а):

Нет, почему, здесь даже теорема Ирншоу не будет офтопом

Да, это действительно она. Но если рассмотреть плоский случай отталкивания то есть положительно заряженные бесконечно протяженные нити, то может быть устойчивое равновесие. В том же случае четырех точек(нитей). Как,блин, так?

[Munin]

Предел брать.

-- 21.07.2011 21:37:01 --

Morkonwen в сообщении #470345 писал(а):

Хм. Если рассматривать на плоскости , то при отталкивании действительно возможно устойчивое! И это... странно!

Ничего странного, трёхмерность существенна, поскольку к ней же сам закон Кулона привязан.

[Morkonwen]

Munin в сообщении #470351 писал(а):

Ничего странного, трёхмерность существенна, поскольку к ней же сам закон Кулона привязан.

Давайте возьмем трехмерный случай - четыре вытянутые нитки и циллиндрическую конечную поверхность в центре между никтами. Поле будет паралельно основаниям поверхности так что поток через них 0. И при этом поле будет только входить в поверхность... Что то явно не так с теоремой Гаусса для неограниченных зарядов.

Дополнение: Нет сейчас пересчитал все в порядке - неустойчивое равновесие=)

[Munin]

Morkonwen в сообщении #470365 писал(а):

И при этом поле будет только входить в поверхность...

Плохо нарисовали, значит.

[evg!]

Добрый день! Спасибо за активное участие в теме! На днях займусь моделированием. Результаты выложу в этой теме. Если у кого есть какие-нибудь еще идеи или сами занимаетесь подобным вопросом, пишите.

[Morkonwen]

evg! в сообщении #470415 писал(а):

Добрый день! Спасибо за активное участие в теме! На днях займусь моделированием. Результаты выложу в этой теме. Если у кого есть какие-нибудь еще идеи или сами занимаетесь подобным вопросом, пишите.

Мы пришли к тому что смоделировать движение в точку равновесия у вас не получится=)

[evg!]

а если есть люди у которых получилось?)))))

я вышел на информацию, что действительно получилось))) я решил сделать, а т.к. я не физик, то и задал вам вопрос, как это лучше провернуть...