Интеграл по кривой

[Falex]

Подскажите как подсчитать

$$ \int\limits_\gamma {\left| {{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\tau \cdot \left[ {\frac{1}{{z - z_1 }} - \frac{1}{{z - z_2 }}} \right]} \right)} \right|\left| {dz} \right|} $$

где $\tau-направление,т.е. $\tau = \cos \varphi + i\sin \varphi $.
$z_1,z_2,\varphi$ заданы.

[незваный гость]

А $\gamma$?

[Falex]

$\gamma$ - некоторая кривая.

[Padawan]

Ну и получится некоторый ответ.

Может Вам его только оценить надо -- по виду похоже на то?

[Someone]

Этот интеграл выражается через криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги). Выразите явно подынтегральную функцию через $x$ и $y$ ($z=x+yi$), а $|dz|=ds$.
Для вычисления задаёте параметрические уравнения кривой $\gamma$: $\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}$, $a\leqslant t\leqslant b$, и обычным образом сводите к определённому интегралу.

[Falex]

Цитата:

Выразите явно подынтегральную функцию через

Так у меня это и не получается.Там такие громоздкие выражения получаются.Ужас.

Добавлено спустя 28 минут 42 секунды:

Так?:

$$ \int\limits_\gamma \ldots = \int_a^b {\left| {{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\tau \cdot \frac{{z_1 - z_2 }}{{(z(t) - z_1 ) \cdot (z(t) - z_2 )}}} \right]} \right|} dt = \int_a^b {\left| {{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\tau \cdot \frac{{A + iB}}{{(z(t) - z_1 ) \cdot (z(t) - z_2 )}}} \right]} \right|} dt $$

[незваный гость]

Почти.
1) $\tau (z_1 -z_2)$ — это некоторая новая (более удобная) константа.

2) $|{\rm d}z|$ потеряли.

$ \int\limits_\gamma \ldots = \int_a^b {\left| {{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ { \frac{\tau (A + iB)}{{(z(t) - z_1 ) \cdot (z(t) - z_2 )}}} \right]} \right|} {\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} {\rm d}t $

[Mandel]

Теперь тебе Falex надо найти мнимую часть от этого выражения.Домнож числитель на сопряженное знаменателя.В знаменателе исчезнет мнимая единица!

[Falex]

Если домножать на сопряженное,чтобы вычислить мнимую часть,то там получается очень громоздкое выражение!

Добавлено спустя 49 минут 6 секунд:

Кстати,оценка для последнего интеграла тоже бы не помешала.