Мощности множеств

[EvilPhysicist]

Для начала скажу, что я не математик и с теорией множеств знаком довольно поверхностно. Поэтому у меня возник вопрос.
Пусть у нас есть счётное множество $ A_0, \quad \lvert A_0 \rvert = \aleph_0 $.
Составим множество$ A_1 $ состоящее из всех подмножеств множества $A_0$. Как можно доказать это множество будет иметь мощность континуума. Для однообразности обозначения обозначим это как $ \lvert A_1 \rvert =\aleph_1 $.
По такой же схеме построим семейство множеств $\lambda=(A_i, i \in \mathbb N) $, где $A_{n+1}$ множество есть множество подмножеств $A_n $ и мощностью $ \lvert A_{n+1} \rvert = \aleph_{n+1} < \aleph_n = \lvert A_n \rvert $.
По этому вопрос. Может ли существовать $ B $, такое что $ \not \exists n \in \mathbb N : B \cong A_n \in \lambda $? Ну и конечно же B должно быть бесконечным.

[мат-ламер]

Цитата:

Как можно доказать это множество будет иметь мощность континуума

Это множество эквивалентно множеству двоичных дробей (чисел между нулём и единицей в двоичной системе исчисления). Второй вопрос ввиду непонятных обозначений не понял. Если Вы хотите спросить, существует ли множество с мощностью больше чем любое множество из выписанного ряда, то безусловно да. Составим множество, являющееся объединением всех множеств из ряда, а затем множество его подмножеств. Если Вы хотите спросить, существует ли множество с некоторой промежуточной мощностью, то это ни доказать, ни опровергнуть нельзя.

[EvilPhysicist]

мат-ламер в сообщении #469995 писал(а):

Это множество эквивалентно множеству двоичных дробей (чисел между нулём и единицей в двоичной системе исчисления)

Тут не соглашусь. Множество подмножеств счётного множества (которое я там обозначил $A_1$) имеет мощность континуума.

(Доказательство.)

Пусть в нас есть $J \in \mathbb N$. $ A_j= \sum\limits_{i \in J} \frac{1}{10^i} $.
Не трудно заметить, что $J=\varnothing \quad A_j=0$, $ J=\mathbb N \quad A_j=1$.
Покажем, что мощность $A_1$ больше $\aleph_0$.
Пусть не так и оно счётно, тогда можно составить бесконечную "таблицу" из $A_j$,где в i-той строке стоит i-е $A_j $, а в k_том столбце 1, если k-тый элемент входит в подмножество J и 0 если иначе.
Тогда можно составить подмножество $\bar J$ такое, что k-тый элемент входит в него, если в составленной таблице в k-той строке отсутствует k-тый элемент и и не входит, если иначе.
Ну, а на сколько я знаю мощностей между счётной и мощностью континуума мощностей нет, то значит $A_1$ имеет мощность континуума.

мат-ламер в сообщении #469995 писал(а):

Второй вопрос ввиду непонятных обозначений не понял.

Берём счётное множество, обозначим его $A_0$. Составляем множество, состоящее из всех подмножеств $A_0$ и обозначаем его $A_1$. Далее также строим множество $A_2$, которое является множество всех подмножеств $A_1$ и так далее строим семейство множеств $\lambda$.
Так вот вопрос, есть ли множество, которое имеет мощность отличную от любой из мощностей, которую может иметь любое их множеств семейства $\lambda$.

мат-ламер в сообщении #469995 писал(а):

Если Вы хотите спросить, существует ли множество с мощностью больше чем любое множество из выписанного ряда, то безусловно да.

мат-ламер в сообщении #469995 писал(а):

Если Вы хотите спросить, существует ли множество с некоторой промежуточной мощностью, то это ни доказать, ни опровергнуть нельзя.

Это конечно же да. Но я хочу спросить есть ли мощности, не знаю как правильно сказать, несравнимые что ли, с мощностями из данного ряда.

[мат-ламер]

Про первый вопрос. Я неправильно выразился. не "двоичных дробей", а "бесконечных двоичных дробей". Бескнечная двоичная дробь - это действительное число между нулём и единицей. Пример - $0.111001001111...$. По последнему вопросу - любые две мощности можно сравнить между собой. Теорема Кантора.

[EvilPhysicist]

мат-ламер в сообщении #470010 писал(а):

По последнему вопросу - любые две мощности можно сравнить между собой. Теорема Кантора.

Да, действительно. Тогда всё ясно. Спасибо.

[Padawan]

мат-ламер в сообщении #470010 писал(а):

По последнему вопросу - любые две мощности можно сравнить между собой. Теорема Кантора.

Разве? Это же следует из возможности вполне упорядочить любое множество. А это доказал Цермело, после Кантора.

[EvilPhysicist]

А разве то, что любые две мощности можно сравнить между собой не очевидно?
Пусть есть $\lvert A \rvert =a$ и $ \lvert B \rvert =b $. Если $ A \subseteq B \wedge A \not \supseteq B $, то $ a<b$, или если $ A \not \subseteq B \wedge A \supseteq B $, то $ a>b$ и если $ A \subseteq B \wedge A \supseteq B $, то $ a=b$?

[мат-ламер]

Я себе представлял, что Кантор придумал теорию трансфинитных чисел специально для доказательства подобно рода теорем. А то, что любое множество можно вполне упорядочить, можно и за аксиому взять. Однако в исторических вопросах не силён. Пойду почитаю литературу. Это я отвечал на вопрос Padawan. А на вопрос EvilPhysicist можно ответить, что множества $A$ и $B$
могут быть непересекающимися.

[Someone]

EvilPhysicist в сообщении #469986 писал(а):

Пусть у нас есть счётное множество $ A_0, \quad \lvert A_0 \rvert = \aleph_0 $.
Составим множество$ A_1 $ состоящее из всех подмножеств множества $A_0$. Как можно доказать это множество будет иметь мощность континуума. Для однообразности обозначения обозначим это как $ \lvert A_1 \rvert =\aleph_1 $.

(Страшно поморщившись.) Алефами обозначают мощности вполне упорядоченных множеств (и, естественно, тех, которые можно вполне упорядочить). $\aleph_1$ - это наименьший несчётный алеф. Его совпадение с мощностью континуума - предмет так называемой континуум-гипотезы (CH), которая может быть как верной, так и ложной (стандартных аксиом теории множеств недостаточно для решения этого вопроса).

мат-ламер в сообщении #470010 писал(а):

По последнему вопросу - любые две мощности можно сравнить между собой. Теорема Кантора.

EvilPhysicist в сообщении #470323 писал(а):

А разве то, что любые две мощности можно сравнить между собой не очевидно?

Это утверждение равносильно аксиоме выбора.