ДУ 2-го порядка. Решение краевой задачи

[tpm01]

Дано ДУ вида $x^2\cdot y''+2x\cdot y'-6\cdot y=6x^3$
Найдите решение краевой задачи: $y(x)=O(x^2)$ при $x\to+0$, $y(3)=18$
В лекциях, которые предшествовали этому заданию говорится только о уравнениях 2-го порядка с малым параметром с постоянными коэффициентами, простейшие задачи с сингулярно входящим малым параметром, явление пограничного слоя.
Подскажите где поискать соответствующую тему лекции и по возможности примеры решения подобных задач. Пытаюсь разобраться с этой темой самостоятельно по дистанционному курсу, в нем нет практических занятий.
Эту решать не надо, мне интересно самой разобраться. Есть курс ДУ В.В. Степанова, но там пока ничего не нашла. Даже не знаю с какой стороны к этой краевой задаче подойти...

[Someone]

Это называется "уравнение Эйлера". Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами, если за новую независимую переменную принять $t=\ln x$ при $x>0$ (и, соответственно, $t=\ln(-x)$ при $x<0$). Тогда $x=e^t$. Производные по $x$ выражаются через производные по $t$ по формулам дифференцирования сложной функции: $y'=\dot y\cdot t'=\frac{\dot y}x$ (точка обозначает производную по $t$); аналогично находится выражение для второй производной. Условие $x\to+0$ превращается в $t\to-\infty$.

[tpm01]

Someone, спасибо тут меня не само уравнение смущает, а вот это:
$y(x)=O(x^2)$
В конспекте было, что $O$ это равномерная оценка на отрезке $[\alpha;\beta]$, где границы отрезка это абсциссы краевой задачи. Что это такое эта "оценка" я к отяжелению, не нашла.

[Someone]

"$\beta(x)=O(\alpha(x))$ при $x\to a$" означает, что отношение $\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}$ ограничено в некоторой окрестности точки $a$. Пока не думайте об этом, а просто решайте уравнение. Потом видно будет, во что это выльется.

[tpm01]

спасибо, попробую

-- Ср июл 20, 2011 15:40:49 --

решила, получилось $y(x)=x^3+C_1 \cdot x^{-3}+C_2 \cdot x^2$.
Второе условие $y(3)=18$ подставила, получила $27+C_1/27+9C_2=18$.
А вот как первое подставить?
Имеется ввиду предел отношения $\frac{y(x)}{x^2}=x+C_1 \cdot x^{-5}+C_2$ при $x \to +0$?
Дальше что-то не понятно, как все-таки найти $C_2$

[ewert]

tpm01 в сообщении #469920 писал(а):

А вот как первое подставить?

Вот именно с этого-то и надо было начинать. Из первого условия сразу следует $C_1=0$.

(ситуация, типичная для сингулярных задач)

[tpm01]

ewert, наверное я совсем чайник в данном вопросе, но мне не понятно каким образом из первого условия следует, что $C_1=0$? У меня совсем нет примеров решения таких задач, только лекции...

[myra_panama]

ewert , когда $x\to +0$ , то из $y(x)=x^3+C_1 \cdot x^{-3}+C_2 \cdot x^2$ , как можно? ... так ли $C_1=x^3y(x)$ , при $x\to 0$ , $C_1=0$

[ewert]

tpm01 в сообщении #469985 писал(а):

мне не понятно каким образом из первого условия следует, что $C_1=0$?

В данном конкретном случае -- совсем тривиально. Оценка $O(x^2)$ уж как минимум означает, что решение должно быть ограничено в нуле. В Вашем же общем решении первое и третье слагаемые в нуле очевидно ограничены, второе же очевидно нет; ну, значит, оно и должно отсутствовать. Так что требование $C_1=0$ заведомо необходимо. То, что оно ещё и достаточно -- надо, формально говоря, доказывать дополнительно (хотя доказывать там практически и нечего); но необходимость $C_1=0$ -- тривиальна.

Ещё раз: это -- совершенно типичная ситуация и типичная логика для сингулярных задач.

[tpm01]

т.е. $y(x)=O(x^2)$ при $x\to+0$ для $y(x)=x^3+C_1 \cdot x^{-3}+C_2 \cdot x^2$ означает, что если $x\to+0$, то и $y(x)=O(x^2)$ стремится к нулю, а дальше:

ewert в сообщении #469993 писал(а):

первое и третье слагаемые в нуле очевидно ограничены, второе же очевидно нет; ну, значит, оно и должно отсутствовать.

у меня в имеющейся литературе не нашлось определения этой самой оценки, поэтому я и спросила. Теперь понятно, спасибо большое.