Экстремум функции и поиск корней уравнения.

[Caran-d'Ache]

Добрый день.
Столкнулся с задачкой на поиск экстремума функции.
Надо найти такие $x$, при заданных $\rho, \psi$, при которых достигает максимума функция:
$e^{-\rho ^2}\left(1+\rho ^2\cos ^2(x-\psi ) _1F_1\left(1;\frac{3}{2};\rho ^2 \cos ^2(x-\psi )\right)+\rho ^2\cos ^2(x+\psi ) _1F_1\left(1;\frac{3}{2};\rho ^2 \cos ^2(x+\psi )\right)\right)$
С учётом, что $\psi\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right), \x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right), \rho\in\left(0;\infty\right)$.
Т.е. хотелось бы найти $x=f(\rho,\psi)$
Беру первую производную, преобразую используя свойства ф-ции Куммера (Абрамовиц, Стиган) и получаю следующее уравнение:$\sin (2 (x-\psi )) _1F_1\left(2;\frac{3}{2};\rho ^2 \cos ^2(x-\psi )\right)+\sin (2 (x+\psi )) _1F_1\left(2;\frac{3}{2};\rho ^2 \cos ^2(x+\psi )\right)~=~0$
Не считая нескольких множителей, зависящих от $\rho$, но меня они сильно не интересуют.
И вот дальше начинается что-то с чем-то.
Если $\psi=0$, то в общем-то что-то ещё могу: получается уравнение вида $\sin (2x) _1F_1\left (2;\frac{3}{2};\rho ^2 \cos ^2(x)\right)~=~0$. Это ещё куда ни шло. Смотрю опять же справочник и нахожу уравнение на корни гип.геом функции.
Но вот если $\psi\ne=0$... Тут я все мозги сломал. И в ряды-то раскладывал и интегральные представления использовал... всё как-то бессмысленно. Может вы чего-нибудь подскажете, можно ли тут что-то подулать? Или только численно? Так этого не очень хочется...

[AlexValk]

Самый распространенный способ получения аналитических (правда приближенных) выражений - "теория возмущений" = асимптотические разложения (по малым или большим параметрам задачи).

Например, как Вы написали, в Вашем случае известно решение $x=f(\rho,0)\equiv f_0(\rho)$ при $\psi=0$. Тогда можно искать $x$ при малых $\psi$, представляя его в виде
$x=f_0(\rho)+f_1(\rho)\psi+f_2(\rho)\psi^2+\dots .$
Вид разложения может быть и иной - в зависимости от специфики задачи, скажем
$x=f_0(\rho)\exp(f_1(\rho)\psi^{1/3}+f_2(\rho)\psi^{2/3}+\dots)$
или $x=f_0(\rho)+f_1(\rho)/\ln(\psi)+\dots$ ).
Выбор малого параметра разложения ($\psi$ - в первом случае, $\psi^{1/4}$ - во втором, $\ln(\psi)$ - в третьем) зависит от аналитической природы Ваших функций.

Альтернативный вариант - попробовать теорию возмущений по малым или большим $\rho$, стартуя с точного решения задачи при $\rho=0$ или $\rho=\infty$, ежели последнее существует, и его удается найти аналитически.