Moving frames

[Bulinator]

Читаю T. Eguchi, P. Gilkey, A. Hanson "Gravitation, gauge theories and differential geometry". Стр. 263, "Moving frames".

Цитата:

At eacհ point x of some neighborhood $U$ of $M$, we can choose a basis $\{{\bf e}_1(x),\ldots,{\bf e}_k(x)\}$ for the $k$-dimensional fiber over $x$. We assume that the basis varies continuously with $x$ if it varies at all; such a collection of bases defined for all $x$ in $U$ is called frame.

Цитата из раздела "Vector bundles". Через $M$ у них обозначено пространство базы, $x$-его координаты.

Собственно вопрос: что значит "элементы базиса ${\bf e}_1(x)$ зависят от $x$"? Как можно вычесть вектор из слоя в одной точке базы, из вектора из слоя в другой точке?

[Kallikanzarid]

Bulinator в сообщении #469342 писал(а):

"элементы базиса ${\bf e}_1(x)$ зависят от $x$"? Как можно вычесть вектор из слоя в одной точке базы, из вектора из слоя в другой точке?

Без связности никак, это неформальщина, и вот откуда она взялась: предполагается, что в окрестности $U \subset M$ векторное расслоение тривиализуется: $\pi^{-1}(U) \cong U \times V$. Понятно, что изоморфизмов таких много, и каждый из них локально задает связность. В контексте зафиксированной таким образом связности и идет речь про зависимость от $x$.

(Оффтоп)

Что-то вы много статей по дифгему читаете, может вам стоит попосещать некоторые магистрские курсы в вашем университете по блату? :)

[Munin]

Bulinator в сообщении #469342 писал(а):

Собственно вопрос: что значит "элементы базиса ${\bf e}_1(x)$ зависят от $x$"? Как можно вычесть вектор из слоя в одной точке базы, из вектора из слоя в другой точке?

По сути, элементы базиса в точке $x$ лежат в слое над точкой $x,$ а для разных точек это разные множества, так что зависимость очевидна. И вектора можно не вычитать один из другого, до введения связности. В вашей цитате этого и не предлагается.

[Bulinator]

Munin в сообщении #469384 писал(а):

В вашей цитате этого и не предлагается.

Bulinator в сообщении #469342 писал(а):

basis varies continuously

Определите, что значит "continuously" без вычитания.

-- Пн июл 18, 2011 21:41:14 --

Kallikanzarid
что-то не то. Посмотрите сами.

(Оффтоп)

Kallikanzarid в сообщении #469374 писал(а):

Что-то вы много статей по дифгему читаете, может вам стоит попосещать некоторые магистрские курсы в вашем университете по блату? :)

Так ведь июль месяц.

[Kallikanzarid]

Bulinator в сообщении #469443 писал(а):

что-то не то.

Все то. "We remark that one can still discuss the notion of a frame without necessarily having chosen a local trivialization" - как раз подтверждает мои слова. Без локакльной тривиализации обсуждать фремы, действительно, можно (и даже предпочтительно): мы просто выбираем $k$ линейно независимых (в смысле $C^{\infty}-модуля) векторных полей на тривиальном (под)расслоении.

Кстати, за фразу "vector space structure on the set of sections" надо убивать <_<

[Bulinator]

Kallikanzarid, спасибо.

Kallikanzarid в сообщении #469477 писал(а):

Без локакльной тривиализации обсуждать фремы, действительно, можно

Так, расслоения они рассматривают только локально тривиальные(не уверен, что есть еще и другие, но... чем черт не шутит?) стр.261-262. Что значит тогда обсуждать фремы без локальной тривиализации? Самим себе дело усложнять?

Kallikanzarid в сообщении #469477 писал(а):

в смысле $C^{\infty}$-модуля

Horrible, horrible...

[Kallikanzarid]

Bulinator в сообщении #469560 писал(а):

Так, расслоения они рассматривают только локально тривиальные(не уверен, что есть еще и другие, но... чем черт не шутит?) стр.261-262. Что значит тогда обсуждать фремы без локальной тривиализации?

"Без локальной тривиализации" здесь знаичт "без фиксирования окрестности, в которой расслоение тривиально".

Bulinator в сообщении #469560 писал(а):

Horrible, horrible...

Надо вот так: The horror! The horror! :gigi:

[Bulinator]

Давайте по тупому. Я стою на $M$. В каждой точке у меня над головой по слою $V$ со своим базисом ${\bf e}_i(x)$. Шагнул в соседнюю точку $x+dx$. Как мне определить, базис изменился или нет?

[Kallikanzarid]

Bulinator в сообщении #469622 писал(а):

Как мне определить, базис изменился или нет?

Без связности - никак.

[Bulinator]

Kallikanzarid в сообщении #469703 писал(а):

Без связности - никак.

Спасибо. Уже понял.