Все точки - строгие максимумы

[ДДмитрий]

Добрый день!

Подскажите, умные люди, существует ли функция, определенная на $\mathbb R$, у которой каждая точка является точкой строгого локального максимума?

Большое спасибо.

[caxap]

Каждому максимуму $x$ можно биективно сопоставить пару рациональных точек из окрестности, в которой $f(x)$ максимально. Будет биекция с подмножеством $\mathbb Q^2$.

[ДДмитрий]

Интересно, как Вы планируете строить такую биекцию? У меня нет мыслей.

[caxap]

Сначала попробуйте обойтись одной точкой. Когда поймёте, почему одной мало, сразу будет ясно, как нужно взять вторую.

[_hum_]

caxap в сообщении #469023 писал(а):

Каждому максимуму $x$ можно биективно сопоставить пару рациональных точек из окрестности, в которой $f(x)$ максимально. Будет биекция с подмножеством $\mathbb Q^2$.

Множество точек локальных максимумов должно (по задаче) совпадать с областью опеределения функции, а значит, иметь мощность континуум. О какой биекции с $\mathbb Q^2$ тогда может идти речь?

[caxap]

_hum_
"Функцию, определённую на $\mathbb R$" я понимал как функцию, у которой область определения $\mathbb R$.

[ewert]

ДДмитрий в сообщении #469019 писал(а):

существует ли функция, определенная на $\mathbb R$, у которой каждая точка является точкой строгого локального максимума?

http://dxdy.ru/post187275.html

[ДДмитрий]

Большое спасибо, ewert! Вот ведь был пробел в образовании.

[ewert]

Кстати, раз уж пошла такая пьянка. Я вот не знаю ответа на вопрос:

существует ли функция, у которой каждая точка есть точка нестрогого максимума, и чтоб при этом множество её значений было плотно на всей оси?...

(на замкнутом промежутке -- может быть плотно, конечно)

-- Пн июл 18, 2011 20:03:34 --

Да, кстати. В той ссылке в последнем посте есть существенный дефект: там неявная ссылка на аксиому выбора. Фактически же она не нужна, конечно: достаточно взять максимальную окрестность, потом её уполовинить и т.д.

[ДДмитрий]

ewert в сообщении #469388 писал(а):

Кстати, раз уж пошла такая пьянка. Я вот не знаю ответа на вопрос:

существует ли функция, у которой каждая точка есть точка нестрогого максимума, и чтоб при этом множество её значений было плотно на всей оси?...

Если я правильно понял условие, то Вам подойдет такое. Пусть $f$ - лестница Кантора на $[0;1]$. Рассмотрим на $[0;1]$ функцию

$$ g(x) = \left \{ \begin{array}{lr} 1, & x\in K, \\ f(x), & x\not\in K \end{array} \right.$$

Правда она определена на отрезке и область значений плотна на отрезке, но это легко поправить для всей прямой.

Цитата:

(на замкнутом промежутке -- может быть плотно, конечно)

не понял