вопрос про спектральную теорему: нулевые собственные знач

[omghero]

всем привет!
у нас есть гильбертово пространство, в нем эрмитов оператор. рассматриваем случаи дискретного спектра.
согласно спектральной теореме $A =\lambda_1 P_{\lambda_1} +\dots+\lambda_m P_{\lambda_m}$. а что если собственное значение равно нулю? тогда мы просто должны прибавлять проектор на подпространство с нулевым $\lambda$ ? я не совсем понимаю.помогите пожалуйста разобраться

[alcoholist]

Ну, разумеется. Ведь всегда $Ax=0$ $\forall x\in V_0$.

[ewert]

omghero в сообщении #468475 писал(а):

у нас есть гильбертово пространство, в нем эрмитов оператор. рассматриваем случаи дискретного спектра.
согласно спектральной теореме $A =\lambda_1 P_{\lambda_1} +\dots+\lambda_m P_{\lambda_m}$. а что если собственное значение равно нулю?

Нулевое с.ч. ничем не отличается от остальных. Хотя бы потому, что при сдвиге оператора оно перестанет быть нулевым. Добавьте в Вашу сумму соотв. слагаемое -- и посмотрите, что выйдет.

Только имейте в виду, что вместо суммы должен стоять ряд. Иначе нулевое (или какое-либо другое) собственное число будет иметь бесконечную кратность, а такой спектр не называется дискретным.