соленоидальные поля

[give_up]

Правильно ли я считаю, что область $\[G:\{ (x,y,z):x > 0\} \]$ является одновременно объёмно и поверхностно односвязной?

А также нужно проверить, является ли векторное поле $\[\overrightarrow a \]$ соленоидальным в ортонормированном базисе, если $\[\overrightarrow a = \frac{{ - y\overrightarrow i + x\overrightarrow j }}{{{x^2} + {y^2}}} + xy\overrightarrow k \]$. Тут тоже по-моему раз область $\[{G_1}:\{ (x,y,z):{x^2} + {y^2} \ne 0\} \]$ является объёмно односвязной, то можно воспользоваться достаточным условием существования соленоидального поля ($\[\operatorname{div}\overrightarrow a = 0\]$). Т.к. оно выполняется, то поле является соленоидальным. Верно?

[мат-ламер]

У меня самого тут больше вопросов, чем ответов.

give_up в сообщении #468474 писал(а):

Правильно ли я считаю, что область $\[G:\{ (x,y,z):x > 0\} \]$ является одновременно объёмно и поверхностно односвязной?

Термин "поверхностно односвязный" я не встречал. Интуитивно очевидно, что в полупространстве любое множество, гомеоморфное окружности или сфере, стягивается в точку. Это следует хотя бы из того, что полупространство выпуклое. Наверное на этот счёт есть соответствующая теорема. Область $G_1$ из второго примера тоже объёмно односвязное. Интуитивно это кажется очевидным. Как это показать формально - я не знаю. Возможно вопрос об объёмной односвязности связан с вопросом о тривиальности второй гомотопической группы пространства. Возможно для этого надо посчитать какие-то группы гомологий. У меня самого тут несколько вопросов. А где можно почитать доказательство того факта, что из того, что если дивергенция поля нулевая и поле задано в объёмно односвязной области, то это поле соленоидально? Интуитивно кажется, что этот вопрос эквивалентен вопросу о том когда замкнутая 2-форма является точной и опирается на лему Пуанкаре. Второй вопрос - допустим поле соленоидально. Обязательно ли область, в которой оно определено - объёмно односвязно? Допустим магнитное поле задано кольцевым током? Пространство без кольца разве объёмно односвязно? И как в таком случае решить вопрос о соленоидальности, исходя чисто из нулевой дивергенции и топологии пространства? Что касается второго примера топикстартера, то соленоидальность поля можно и непосредствено показать. Допустим, первый член - это магнитное поле линейного тока, а второй член задан на всём пространстве. Кроме того, можно непосредственно подсчитать векторный потенциал поля.

[мат-ламер]

Уточнение терминологии. В некоторой литературе поле считается соленоидальным, если его дивергенция равна нулю. В некоторых источниках считают поле соленоидальным, если для него существует векторный потенциал. В этом смысле подразумевается соленоидальность у меня и топикстартера. Любопытно, что в половине источников утверждается, что эти два определения эквивалентны, причём независимо от области, в которой определено поле.