Вопрос по непрерывным кривым, параметризация

[dk-dw]

собственно вопрос по этой теореме
Теорема
Пусть непрерывная кривая $C $ с параметрическим уравнением $z(t)$ не проходит через начало координат ( т.е. $z(t)\neq0$ при $0\leqslant t\leqslant1$), и пусть аргумент начальной точки кривой $C$ (т. е. $Arg z(0)$)выбран равным $\varphi_0$. Тогда можно так выбрать одно из значений аргумента для всех точек кривой $C$, чтобы при движении точки по кривой ее аргумент изменялся непрерывно, начиная со значения $\varphi_0$.

Что значит одно из значений аргумента для всех точек кривой? И аргумент можно выбрать? Я думал он только один для конкретной точки. В общем совсем я запутался.

[Алексей К.]

Думается, что здесь говорится всего лишь о том, что ежели Вы будете держать аргумент в рамках $(-\pi,\pi]$, то непрерывность у достаточно длинной кривой нарушится. А Вы можете "выбрать" его в том смысле, что когда он, скажем, дорос до $\pi$, пусть себе и дальше непрерывно растёт.

[ewert]

dk-dw в сообщении #468327 писал(а):

Что значит одно из значений аргумента для всех точек кривой?

Аргумент определён лишь с точностью до $2\pi k$. Например, пока кривая ползает в пределах правой полуплоскости, непрерывное значение аргумента обеспечивается соответствующим арктангенсом. А когда пересекает вертикальную ось -- возникают формальные проблемы с выбором ветви аргумента. Справиться с ними можно, например, своевременными переключениями арктангенса и арккотангенса, с добавлением по мере необходимости соответствующих количеств $\pi$.

[dk-dw]

то есть если кривая непрерывна, то и функция изменения ее аргумента непрерывна?

[мат-ламер]

dk-dw в сообщении #468369 писал(а):

то есть если кривая непрерывна, то и функция изменения ее аргумента непрерывна?

Я думаю да, если правильно выбрать соответствующие определения. Функцию угла я бы определил не как многозначную функцию на плоскости, а как однозначную непрерывную функцию на соответствующей римановой поверхности. Т.е. примерно так же, как определяется логарифм на комплексной плоскости.

[dk-dw]

Благодарю

[Алексей К.]

dk-dw в сообщении #468369 писал(а):

то есть если кривая непрерывна, то и функция изменения ее аргумента непрерывна?

Нет: если кривая проходит через начало координат, то аргумент скачком меняется на $\pm\pi$.
Это можно иногда побороть, записав её параметрическое уравнение в виде

$$x(\varphi)=r(\varphi)\cos\varphi, \quad y(\varphi)=r(\varphi)\sin\varphi, $$

и считая при этом, что $r(\varphi)$ при переходе через ноль меняет знак. Но тогда это не терминология ТФКП.

-- 16 июл 2011, 09:03 --

Да, увидел — она у Вас не проходит через ноль по условию.