Диофантово уравнение для любителей компьютерной математики

[arqady]

Решите в натуральных числах уравнение:

$$\frac{(a^2+bc)(b^2+ac)}{(a+c)(b+c)}+\frac{(a^2+bc)(c^2+ab)}{(a+b)(b+c)}+\frac{(b^2+ac)(c^2+ab)}{(a+b)(a+c)}=2011$$

(подсказка)

У этого уравнения имется с точностью до перестановок только два решения.
Найдите их и докажите, что других решений нет.

[dmd]

{7,21,39}, {9,9,43}, {9,29,33}, {21,27,29}.

[arqady]

Второе и четвёртое Ваше решение я прозевал!
Подозреваю, что Вы идею нашли.

[Edward_Tur]

Красивое тождество!

$$\frac{(a^2+bc)(b^2+ac)}{(a+c)(b+c)}+\frac{(a^2+bc)(c^2+ab)}{(a+b)(b+c)}+\frac{(b^2+ac)(c^2+ab)}{(a+b)(a+c)}=a^2+b^2+c^2.$$

[arqady]

Это отсюда: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7#p1477067
Кстати, до сих пор не понимаю, почему оно верно. То бишь, не вижу, как доказать, что дроби уходят, без умножения на общий знаменатель и раскрытия скобок и подтасовок под это.

[Руст]

Проверять раскрывая все скобки довольно трудно. Проще проверять при разных комбинаций знаков $a,b,c=\pm 1,0$ (несколько вариантов, отличающиеся на общий минус можно не проверять) после умножения на общий знаменатель. Однородные симметричные многочлены 5-ой степени должны совпасть, если совпадают значения при этих значениях переменных.

[Edward_Tur]

$$\frac{(a^2+bc)(b^2+ac)}{(a+c)(b+c)}+\frac{(a^2+bc)(c^2+ab)}{(a+b)(b+c)}+\frac{(b^2+ac)(c^2+ab)}{(a+b)(a+c)}=$$

$$=\frac{(a^2+bc)(b^2+ac)(a+b)+(a^2+bc)(c^2+ab)(a+c)+(b^2+ac)(c^2+ab)(b+c)}{(a+c)(b+c)(c+a)}= \frac {P(a)}{Q(a)}=R(a),$$

где $P(a)$ - многочлен 4-й степени, а многочлен $Q(a)$ - второй степени. Поскольку $P(-b)=P(-c)=0$, то и многочлен $R(a)$ - второй степени.