Итак: надо доказать, что выражение
не выполняется при любых
взаимно простые числа.
Пусть
Соответственно, если X,Y,Z-взаимно простые числа, то и их сомножители тоже взаимно простые числа.
После преобразования выражения(1) получаем:
Получили утроенное произведение трёх взаимно простых сомножителей равное кубу.
Отсюда следует, что два из трех сомножителей всегда кубы, а третий имеет вид:
Предположим, что кратен 3 сомножитель , тогда имеем:
Получили, что ещё один из оставшихся сомножителей
или
кратен 3, что противоречит условиям.
Аналогичное противоречие получается и для вариантов, где кратны 3
или
.