почему в учебниках ничего не сказано про корень отрицательной степени, ведь можно ввести его так же совершенно как корень натуральной степени
А что такое вообще степень?...
В конце концов -- это такая операция
![$x^y$ $x^y$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/7/a77c2e31722d34fb6516004d5aad77e582.png)
, что
![$x^{y+z}=x^y\cdot x^z$ $x^{y+z}=x^y\cdot x^z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/1/341b903720c412a5b7bce6b6aa7b571182.png)
(ну и там ещё кой-какие оговорки).
Изначально же
![$x^n$ $x^n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/4/ef4740140c8741b5abffcf442f79c1c782.png)
для целых положительных
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
определяется как повторное умножение.
А между этими двумя крайними позициями -- цепочка из нескольких логических переходов, одним из которых и является определение корня целочисленной положительной степени
![$x=\sqrt[n]{y}$ $x=\sqrt[n]{y}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/7/e27aab6f7786d684ca06b2c2eed60d1a82.png)
как функции, обратной к целой положительной степени
![$y=x^n$ $y=x^n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/b/9eb58b30458db609ae2fbaea87c5d9e882.png)
и обозначение его как
![$y^{1\over n}$ $y^{1\over n}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/f/2bf3c3faec63061ef0491a167a92725c82.png)
. Именно положительной, т.к. степени с отрицательными показателями выгоднее определять отдельно. Т.е. понятие корня не имеет особой самостоятельной математической ценности -- это лишь маленький кусочек некоторой конструкции.
Но после того, как понятие степени уже введено в полном объёме -- никто уже не в силах запретить обозначать
![$\sqrt[y]{x}\equiv x^{1\over y}$ $\sqrt[y]{x}\equiv x^{1\over y}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/b/fab50195f70572172d4a76888debc82982.png)
для вообще произвольных
![$y\neq0$ $y\neq0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/c/6cc74448a70e0cfc32c833ffe70c8a6982.png)
. Это не более чем вопрос выбора обозначений.
Правда, есть один формальный нюанс: часто принято считать, что, дескать,
![$\sqrt[3]x$ $\sqrt[3]x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/f/a7f514b4cf7be7d42b724cd014fd711382.png)
определён при всех иксах, в то время как
![$x^{1\over3}$ $x^{1\over3}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/b/a3be0bd94c560e8a4d6016a20f53f40882.png)
-- лишь при положительных. Но это сугубо школьный методический бздык, и сразу же после школы никто уже на это внимания не обращает.