Паракомплексные числа

[Znarislavl]

Хотелось бы узнать о смысле паракомплексных чисел. Вот у комплексных есть аналогия- двухмерные векторы
Есть ли какая-нибудь наглядная аналогия для паракомплексных?

[mihailm]

(Оффтоп)

Ежу понятно - парамерные векторы

[Znarislavl]

а что это?-где можно почитать?

[Xaositect]

Ну, во-первых, эта алгебра раскалдывается в прямую сумму $(1+j)\mathbb{R} \oplus (1-j)\mathbb{R}$ ($1+j$ и $1-j$ - делители нуля). То есть, их можно представлять как линейные функции: функция $u(j) = a+bj$ задается значениями $u(1)$ и $u(-1)$. При перемножении паракомплексных чисел мы просто перемножаем соответствующие значения двух функций и проводим через два произведения новую прямую.

Геометрически их можно представлять тоже как двумерные векторы, но с другим умножением. Если при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, то для паракомплексных перемножаются величины $a^2 - b^2$, т.е. более-менее естественной геометрической структурой будет квадратичное пространство с этой формой, так называемая гиперболическая плоскость. Изолиниями этой квадратичной формы будут гиперболы с общими асимптотами $a = b$ и $a = -b$, соответствующими тем самым делителям нуля $1+j$ и $1-j$. Можно ввести и некоторый аналог аргумента комплексного числа, но из-за этих асимптот-разделителей его либо надо рассматривать отдельно на "положительных" и "отрицательных" гиперболах, либо считать "гиперболический аргумент" комплексным. Равен он $\operatorname{Arth} \frac{b}{a}$