Как упростить параметрический вид прямой линии?

[bekas]

Предположим, что канонические уравнения прямой
получаются в не очень "аппетитном" виде, например:

(x-2/7)/5 = (y+13/7)/10 = (z-0)/7.

Если теперь получить уравнения прямой в параметрическом виде,
то они получатся в с дробями. Какие существуют методы
избавления от дробей в уравнениях параметрического вида?

[Brukvalub]

bekas писал(а):

... Какие существуют методы
избавления от дробей в уравнениях параметрического вида?

Никаких, потому, что это никому не нужно.

[Руст]

Совсем избавиться от дробных добавок не удастся, так как на этой прямой нет точек с целыми координатами.

[Алексей К.]

bekas писал(а):

Предположим, что канонические уравнения прямой
получаются в не очень "аппетитном" виде, например:

(x-2/7)/5 = (y+13/7)/10 = (z-0)/7.

То, что Вы написали --- не совсем каноническое уравнение; если его немного канонизировать,
то там появятся такие дроби, от которых избавиться невозможно.

bekas писал(а):

Если теперь получить уравнения прямой в параметрическом виде,
то они получатся в с дробями. Какие существуют методы
избавления от дробей в уравнениях параметрического вида?

Методов избавления от дробей, наверное, не существует. Потому что их обычно никто не боится, и не стремится избавиться от них. Это бывает в школе --- если в задачке дроби получаются, то наверное, всё не так и караул. Лучший метод --- не бояться их, научиться с ними оперировать как с другими числами.

Ну, в быту есть методы --- придумывают сантиметры (в дополнение к метрам). Если не помогает --- доходят и до микронов. Или сантимы в дополнение к рублику.

Ну, а в Вашем случае, (x-2/7)/5 = (y+13/7)/10...
получим $x=\frac{2}{7}+5t$, $y=-\frac{13}{7}+10t$. Если это действительно невыносимо,
то можно написать $7x=2+35t$, $7y=-13+70t$. Но это ни от каких проблем Вас не избавит.

Право, не надо избавляться от дробей... Упростить их до предела, и всё...

[Руст]

Любая другая запись будет иметь вид $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$. Здесь вектор (a,b,c)=(5,10,7) можно менять только умножая на ненулевой множитель. Но от этого он лучше не станет и так целые и не имеет общего делителя. Поэтому можно выбрать только начальную точку поаппетитнее. Легко выяснить, что на этой прямой нет точек, у которых все координаты целые. С двумя целыми коодинатами имеются точки $(x_0,y_0,z_0)=(1,-\frac{3}{7},7) \ or \ (\frac{12}{7},1,14).$

[bekas]

Дробей я не боюсь, их боится преподаватель моего племянника.

Привожу конкретный пример, который привел к проблеме дробей.

Прямая была задана пересечением плоскостей:

4x + 3y - 3z - 24 = 0
6x - 5y + 3z - 4 = 0

Предположим, что нам повезло, и для нахождения точки на этой прямой
мы взяли x = 0, тогда y = -14, z = -22.

Если же не повезло, и мы взяли z = 0, тогда x = 66/19, y = 64/19.

В результате в первом случае получим канонические
уравнения прямой в виде (x-0)/3 = (y+14)/15 = (z+22)/19,
а параметрические уравнения будут x = 3t, y = 15t - 14, z = 19t - 22.

Во втором случае (если не бояться дробей), параметрические уравнения
будут x = 3t - 66/19, y = 15t - 64/19, z = 19t.

Между прочим, в учебнике моего племянника ответ вообще другой:

x = 3t + 3, y = 15t + 1, z = 19t - 3.

Вот и как тогда доказать преподавателю, что твой вид параметрических
уравнений правилен (хотя есть смутное подозрение, что все три ответа
годятся)?

[Brukvalub]

Ответ в учебнике получается из Вашего ответа

Цитата:

x = 3t, y = 15t - 14, z = 19t - 22

заменой u=t-1, поэтому они оба верны. Из того, что писал Руст:

Цитата:

Совсем избавиться от дробных добавок не удастся, так как на этой прямой нет точек с целыми координатами.

(я сам этого не проверял, но ему вполне доверяю), следует, что Ваш ответ из первого поста содержит числовую ошибку.